Репдижиты, на единицу большие квадратов

[Ktina]

В десятичной системе счисления существуют только три репдижита, каждый из которых превышает квадрат целого числа на 1.
Это репдижиты: 1, 2 и 5 (в своё время В. Сендеров предложил эту задачу на турнире им. А. П. Савина).
Как некоторым из вас уже удалось заметить, все три вышеуказанных репдижита однозначны.

В другой позиционной системе счисления, скажем, в четверичной, можно найти двузначный репдижит, на единицу больший квадрата целого числа. Например, квадрат двойки, увеличенный на 1, записывается в четверичной системе следующим образом: 11.

Было бы, на мой взгляд, крайне любопытно заняться поиском более длинных подобных репдижитов в различных позиционных системах счисления.
А может, более длинных попросту не существует?
А если существуют, могут ли они быть сколь угодно длинными?

[kknop]

$$5^2+1=26=222_3$$

$$29^2+1=842=222_{20}$$

ну и дальше - уравнение Пелля.

Другая серия начинается с

$$28^2+1=785=555_{12}$$

.
И мне кажется, что трехзначное решение будет для любой цифры, равной сумме двух квадратов.

[Ktina]

kknop
Большое спасибо!
А четырёх- и более значные бывают?

[12d3]

Парочка четырехзначных примеров:
$2222_{4}=13^2+1$
$5555_{60}=1048^2+1$

[gris]

Если без теории, то удобнее переписать уравнение так:
$\dfrac{m\cdot(k^l-1)}{k-1}=(n^2+1)$,
где $k$-основание системы, $l$ - количество повторений цифры $m<k$, $n$- натуральное число.
Сразу можно увидеть редджипы типа $AAAAAAAAAA_{11}=161051^2+1$
++ Ой, перепутал плюс и минус. Yadryara установил, что $AAAAAAAAAA_{11}=161051^2-1$

[Yadryara]

Чуток ошиблись: https://www.wolframalpha.com/input/?i=AAAAAAAAAA_11-161051%5E2

$AAAAAAAAAA_{11}=161051^2-1$

[kknop]

Ага, то бишь k=m+1 при четном l сразу даёт решение для любого основания системы счисления. Ой, для неправильного уравнения