2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 18:39 
$$\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\cdot\sin(x)dx}{1+(\cos(x))^2}$

Необходимо вычислить вот такой интеграл. Пробовал по частям. В простейшем случае (когда х равен U и dv=остальной части) прихожу к интегралу от arctg(cosx). Свести тригонометрическими формулами к более простому не получается. Похоже, он в элементарных функциях не вычисляется. Наверное, есть какой-то хитрый способ, которого я не знаю. Может кто помочь?
Это задание с экзамена по матану за первый курс.

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 19:09 
Аватара пользователя
Nickspa
Так Вам же и не надо выражать, а только посчитать число.
Присмотритесь к графику $y = \arctg \cos x$, он ведь симметричный.

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 19:12 
Первообразная такова:
$1/2\,{\rm dilog} \left( {\frac {\sqrt {2}-i{{\rm e}^{ix}}-1}{\sqrt {2}
-1}} \right) -1/2\,{\rm dilog} \left( {\frac {\sqrt {2}-i{{\rm e}^{ix}
}+1}{1+\sqrt {2}}} \right) +1/2\,{\rm dilog} \left( {\frac {\sqrt {2}+
1+i{{\rm e}^{ix}}}{1+\sqrt {2}}} \right) -1/2\,{\rm dilog} \left( {
\frac {\sqrt {2}-1+i{{\rm e}^{ix}}}{\sqrt {2}-1}} \right) +i/2x\ln 
 \left( \sqrt {2}-i{{\rm e}^{ix}}-1 \right) -i/2x\ln  \left( \sqrt {2}
-i{{\rm e}^{ix}}+1 \right) +i/2x\ln  \left( \sqrt {2}+1+i{{\rm e}^{ix}
} \right) -i/2x\ln  \left( \sqrt {2}-1+i{{\rm e}^{ix}} \right).
$

Она не является элементарной функцией, т. к. содержит интегральный дилогарифм. Кто не верит, пусть проверит дифференцированием.

-- 09.12.2016, 18:17 --

пианист в сообщении #1175471 писал(а):
Nickspa
Так Вам же и не надо выражать, а только посчитать число.
Присмотритесь к графику $y = \arctg \cos x$, он ведь симметричный.

Ответ простой $\frac {\pi^2} 4 .$

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 19:21 

(Оффтоп)

Интегральный логарифм $\operatorname{li}$ — это не то же самое что дилогарифм $\operatorname{Li}_2$, который, очевидно, входит в это выражение.

 
 
 
 Определение
Сообщение09.12.2016, 19:26 
${\rm dilog}(x):=\int\limits _1^x \frac {\ln(t)} {1-t}\,dt$

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 19:30 
Я совершенно не против того, что это действительно дилогарифм $\operatorname{Li}_2$, но интегральным логарифмом традиционно зовётся другая функция $\operatorname{li}x = \displaystyle{\int_0^x \frac{dt}{\ln t}}$, или $\operatorname{Li}x = \displaystyle{\int_2^x \frac{dt}{\ln t}}$.

-- Пт дек 09, 2016 21:35:19 --

И если вспомнить о полилогарифмах $\operatorname{Li}_s$, то $\operatorname{Li}_1\not\equiv\operatorname{Li}$. Правда, вся эта интерлюдия не относится к теме нахождения значения интеграла без помощи специальных функций.

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 19:41 
arseniiv в сообщении #1175480 писал(а):
Я совершенно не против того, что это действительно дилогарифм $\operatorname{Li}_2$, но интегральным логарифмом традиционно зовётся другая функция $\operatorname{li}x = \displaystyle{\int_0^x \frac{dt}{\ln t}}$, или $\operatorname{Li}x = \displaystyle{\int_2^x \frac{dt}{\ln t}}$.

-- Пт дек 09, 2016 21:35:19 --

И если вспомнить о полилогарифмах $\operatorname{Li}_s$, то $\operatorname{Li}_1\not\equiv\operatorname{Li}$. Правда, вся эта интерлюдия не относится к теме нахождения значения интеграла без помощи специальных функций.

Спасибо, поправил.

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 19:44 
Nickspa в сообщении #1175461 писал(а):
прихожу к интегралу от arctg(cosx).

К определенному интегралу.
А определенный интеграл от нечетной функции от $-a$ до $a$ равен чему?

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение09.12.2016, 20:52 
Разобрался. Всем спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение10.12.2016, 05:17 
Аватара пользователя
Nickspa в сообщении #1175461 писал(а):
Пробовал по частям.

А если сразу сдвинуть $x\to x+\frac{\pi}{2}$, то и без частей всё видно будет.

 
 
 
 Re: Непростой интеграл
Сообщение10.12.2016, 18:33 
 !  Markiyan Hirnyk
Блокировка 2 недели за очередное выступление в ПРР с матпакетами не по делу, игнорируя тем самым требования модераторов.
Поскольку на сей, и не в первый, раз сообщение было не только не приносящим пользы, но и во вред, по истечении блокировки настоятельная просьба воздержаться от участия в работе учебных разделов в роли отвечающего.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group