Непростой интеграл

[Nickspa]

$$\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\cdot\sin(x)dx}{1+(\cos(x))^2}$

Необходимо вычислить вот такой интеграл. Пробовал по частям. В простейшем случае (когда х равен U и dv=остальной части) прихожу к интегралу от arctg(cosx). Свести тригонометрическими формулами к более простому не получается. Похоже, он в элементарных функциях не вычисляется. Наверное, есть какой-то хитрый способ, которого я не знаю. Может кто помочь?
Это задание с экзамена по матану за первый курс.

[пианист]

Nickspa
Так Вам же и не надо выражать, а только посчитать число.
Присмотритесь к графику $y = \arctg \cos x$, он ведь симметричный.

[Markiyan Hirnyk]

Первообразная такова:
$1/2\,{\rm dilog} \left( {\frac {\sqrt {2}-i{{\rm e}^{ix}}-1}{\sqrt {2} -1}} \right) -1/2\,{\rm dilog} \left( {\frac {\sqrt {2}-i{{\rm e}^{ix} }+1}{1+\sqrt {2}}} \right) +1/2\,{\rm dilog} \left( {\frac {\sqrt {2}+ 1+i{{\rm e}^{ix}}}{1+\sqrt {2}}} \right) -1/2\,{\rm dilog} \left( { \frac {\sqrt {2}-1+i{{\rm e}^{ix}}}{\sqrt {2}-1}} \right) +i/2x\ln \left( \sqrt {2}-i{{\rm e}^{ix}}-1 \right) -i/2x\ln \left( \sqrt {2} -i{{\rm e}^{ix}}+1 \right) +i/2x\ln \left( \sqrt {2}+1+i{{\rm e}^{ix} } \right) -i/2x\ln \left( \sqrt {2}-1+i{{\rm e}^{ix}} \right). $

Она не является элементарной функцией, т. к. содержит интегральный дилогарифм. Кто не верит, пусть проверит дифференцированием.

-- 09.12.2016, 18:17 --

пианист в сообщении #1175471 писал(а):

Nickspa
Так Вам же и не надо выражать, а только посчитать число.
Присмотритесь к графику $y = \arctg \cos x$, он ведь симметричный.

Ответ простой $\frac {\pi^2} 4 .$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Интегральный логарифм $\operatorname{li}$ — это не то же самое что дилогарифм $\operatorname{Li}_2$, который, очевидно, входит в это выражение.

[Markiyan Hirnyk]

${\rm dilog}(x):=\int\limits _1^x \frac {\ln(t)} {1-t}\,dt$

[arseniiv]

Я совершенно не против того, что это действительно дилогарифм $\operatorname{Li}_2$, но интегральным логарифмом традиционно зовётся другая функция $\operatorname{li}x = \displaystyle{\int_0^x \frac{dt}{\ln t}}$, или $\operatorname{Li}x = \displaystyle{\int_2^x \frac{dt}{\ln t}}$.

-- Пт дек 09, 2016 21:35:19 --

И если вспомнить о полилогарифмах $\operatorname{Li}_s$, то $\operatorname{Li}_1\not\equiv\operatorname{Li}$. Правда, вся эта интерлюдия не относится к теме нахождения значения интеграла без помощи специальных функций.

[Markiyan Hirnyk]

arseniiv в сообщении #1175480 писал(а):

Я совершенно не против того, что это действительно дилогарифм $\operatorname{Li}_2$, но интегральным логарифмом традиционно зовётся другая функция $\operatorname{li}x = \displaystyle{\int_0^x \frac{dt}{\ln t}}$, или $\operatorname{Li}x = \displaystyle{\int_2^x \frac{dt}{\ln t}}$.

-- Пт дек 09, 2016 21:35:19 --

И если вспомнить о полилогарифмах $\operatorname{Li}_s$, то $\operatorname{Li}_1\not\equiv\operatorname{Li}$. Правда, вся эта интерлюдия не относится к теме нахождения значения интеграла без помощи специальных функций.

Спасибо, поправил.

[wrest]

Nickspa в сообщении #1175461 писал(а):

прихожу к интегралу от arctg(cosx).

К определенному интегралу.
А определенный интеграл от нечетной функции от $-a$ до $a$ равен чему?

[Nickspa]

Разобрался. Всем спасибо за помощь!

[bot]

Nickspa в сообщении #1175461 писал(а):

Пробовал по частям.

А если сразу сдвинуть $x\to x+\frac{\pi}{2}$, то и без частей всё видно будет.

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Блокировка 2 недели за очередное выступление в ПРР с матпакетами не по делу, игнорируя тем самым требования модераторов.
Поскольку на сей, и не в первый, раз сообщение было не только не приносящим пользы, но и во вред, по истечении блокировки настоятельная просьба воздержаться от участия в работе учебных разделов в роли отвечающего.