2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 13:24 


28/06/08
21
Севастполь
Существует ли бесконечномерное пространство Х и две нормы, такие что $(X,\|\cdot\|_1)$ и $(X,\|\cdot\|_2)$ полны, но нормы неэквивалентны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6529
Попробуйте в качестве $X$ взять пересечение двух банаховых пространств с заведомо разными нормами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
Как это относится к теореме о замкнутом графике, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4602
Dan B-Yallay в сообщении #1174325 писал(а):
Попробуйте в качестве $X$ взять пересечение двух банаховых пространств с заведомо разными нормами.


Упражнение: доказать, что если пересечение вдруг оказалось полно по обеим нормам, то на нём они эквивалентны.

-- Пн, 05 дек 2016 08:50:48 --

А исходный вопрос достаточно прост, но нужны попытки решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6529
Упражнение не выходит. Видимо, пора освежать остатки заржавевших знаний.
:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4602
Dan B-Yallay в сообщении #1174341 писал(а):
Упражнение не выходит.


Оно неправильное. Прошу прощения. Довольно глупо, учитывая, что исходный вопрос является его частным случаем.

А на исходный вопрос не хочу сильно подсказывать ТС, но не знаю, можно ли обойтись без леммы Цорна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
g______d в сообщении #1174355 писал(а):
можно ли обойтись без леммы Цорна.

А причем здесь она? Скорее речь идет о теореме Бэра, или каком-либо следствии из неё, например о теореме о замкнутом графике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4602
Red_Herring в сообщении #1174365 писал(а):
А причем здесь она?


А Вы уверены, что у нас ответ одинаковый? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 20:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31278
Red_Herring в сообщении #1174365 писал(а):
например о теореме о замкнутом графике.

Теорема о замкнутом графике -- это о замкнутом операторе вложения. А конструктивного примера (без аксиомы выбора) мне тоже не попадалось. Впрочем, неконструктивного тоже не помню.

А, да, ответ. Да, существует. Это известный факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами
Сообщение05.12.2016, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4602
Ладно, действительно, это не ПРР.

По-моему, вообще верен более общий факт: если $A$ и $B$ -- банаховы пространства одинаковой алгебраической размерности (т. е. с равномощными базисами Гамеля; например, два бесконечномерных сепарабельных пространства), то на $A$ можно ввести норму, относительно которой оно будет изометрично $B$. Доказательство: построим биекцию между базисами Гамеля, продолжим её до линейного (алгебраического) изоморфизма и перенесём с помощью него норму из $B$ на $A$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group