О сумме элементов с переменным знаком

[Math_er]

Доброго времени суток.

Пусть даны $n$ различный чисел $a_1,...,a_n$ из отрезка $[a,b],$ где $a>0,$ и еще $n$ чисел $\varepsilon_1,...,\varepsilon_n,$ которые принимают значение либо 1, либо -1.
Обозначим $\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}\frac{\varepsilon_k}{a_k}$.
Возник следующий вопрос:
Правда ли, что независимо от распределения $\varepsilon_i$, существует такое число $\xi(n)>0,$ что $S\not\in (-\xi(n),\xi(n))\setminus\{0\}$ ?

Другими словами, правда ли, что как бы мы не расставили плюсы и минусы между числами $\displaystyle\frac{1}{a_1},...,\frac{1}{a_n},$ мы либо получим $S=0,$ либо не сможем приблизить значение $|S|$ к нулю, ближе некоторой границы, зависящей только от $a,b$ и $n$?

К примеру, если рассмотреть тривиальный случай, когда $a=a_1=...=a_n=b,$ то очевидно $\xi=\frac{1}{a}.$

Встречал ли кто то такую задачу или результаты, связанные с ней?


Спасибо.

[grizzly]

Math_er
Определитесь, пожалуйста, либо у Вас набор $a_1,...,a_n$ наперёд задан, как сказано здесь:

Math_er в сообщении #1173863 писал(а):

Пусть даны $n$ различный чисел $a_1,...,a_n$ из отрезка $[a,b],$

либо Вы им можете варьировать, как уточняется здесь:

Math_er в сообщении #1173863 писал(а):

зависящей только от $a,b$ и $n$?

Решение в любом из этих случаев тривиальное, только ответы разные.

[Math_er]

grizzly
Набор $a_1,...,a_n$ - фиксированный, из фиксированного отрезка $[a,b].$

[grizzly]

Ага, а насколько много разных значений может принимать тогда $|S|$ (здесь это просто абсолютное значение числа $S$)?

[Math_er]

grizzly Извиняюсь, я исправил свой предыдущий пост.

[grizzly]

(не нужно точно считать, достаточно оценить: конечное или бесконечное)

[Math_er]

grizzly Ну, по видимому, не больше, чем $2^{n-1}.$

[grizzly]

И значит, среди них (за вычетом нулевого, если он там тоже присутствует) есть минимум?

[Math_er]

grizzly Да, Вы правы, формально существование минимума (для фиксированного набора) можно показать. А что будет, если набор не фиксирован, но фиксирован отрезок $[a,b]$?

-- 03.12.2016, 15:39 --

Ага, тогда тоже ничего не изменится. А можно ли как то оценить этот минимум?

[grizzly]

Math_er в сообщении #1173882 писал(а):

Ага, тогда тоже ничего не изменится. А можно ли как то оценить этот минимум?

Как это не изменится? Варьируя набором, можно сколь угодно близко приближать сумму к 0 (чётность $n$ может потребоваться, правда, при малых $n$). Пример я набрал было, но решил удалить -- попытайтесь сами.

[Math_er]

grizzly
Да, уже допёрло, спасибо.
У меня просто задача с числами $a_1,...,a_n$ специального вида, а знаки - значения функции Мёбиуса. Думал, можно отречься от всего этого и получить какой то общий результат..

[DeBill]

Math_er
Если $n$ - нечетно, и $(n-1)(b-a) < a$, то мало не будет: будет немало...

[Math_er]

DeBill
Не совсем понял о чем Вы. Можно поподробнее?

[grizzly]

Math_er в сообщении #1173947 писал(а):

DeBill
Не совсем понял о чем Вы.

Да о том же:

grizzly в сообщении #1173891 писал(а):

чётность $n$ может потребоваться, правда, при малых $n$

только с красивой точностью.

[DeBill]

Math_er
Ну да, я написал в точности о том же, что и grizzly: только дал точный (правда, неправильный, блин, ответ )
Если $n =2k - 1$ - нечетно, то каких то знаков (плюс или минус) будет больше.
А если длина интервала маленькая, то те, которых больше, забьют других.
Это случится, если сумма $k$ самых маленьких возможных слагаемых больше суммы оставшихся $ k-1$ слагаемых (даже если они - максимально возможные).

(Оффтоп)

У меня ка было эном...