2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 19:27 
Аватара пользователя


24/12/11
184
Постоянно слышу про $p$-адические числа и, наконец, решил узнать, что это за зверь. К сожалению, Википедия и другие источники меня только запутали...

Наткнулся в интернете на одну картинку ($\mathbb Z_3$) и пытаюсь её осознать. Поправьте, если я дальше ошибаюсь. Мы берём натуральный ряд и расклыдываем его на три части в зависимости от остатка от деления на три. Далее, в каждой кучке мы делим числа по остатку на 9 (кучек опять будет три) и т. д. до бесконечности. Я пытаюсь представить натуральный ряд как множество сверхтонких жил проводов, а $\mathbb Z_3$ получается своего рода кабель. То есть этот кабель состоит из трёх подкабелей, каждый из подкабелей состоит из трёх подкабелей меньшего сечения и т. д. Конкретное число из $\mathbb Z_p$ -- это "жилка" в этом кабеле, определяемая бесконечной последовательностью номеров подкабелей (цифры 0, 1, 2 в зависимости от подкабеля, в который жилка попадает). Получается, что чем ближе два числа в смысле $\mathbb Z_3$-метрики, тем на более глубоком уровне вложенности их кабели расходятся.

Это хоть немного похоже на правду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21253
Уфа
Только скажу, что вроде бы $\mathbb Z_3$ обычно обозначает группу остатков от деления на 3 по сложению. И соответствующее поле. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 19:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8387
wallflower в сообщении #533158 писал(а):
Постоянно слышу про $p$-адические числа и, наконец, решил узнать, что это за зверь. К сожалению, Википедия и другие источники меня только запутали...
Боревич Шафаревич Теория чисел. Про $p$-адические числа там рассказано просто в самом начале. Но с картинками туговато, конечно
wallflower в сообщении #533158 писал(а):
Это хоть немного похоже на правду?
Ха! Прикольно, немного похоже. Сложение примерно также можно интерпретировать. Ну с умножением все плохо как всегда. Подгруппу единиц примерно также. Подгруппу $\mathbb{Z}$ тоже можно. Ну функцию так более-менее можно вообразить :-)
Только вот что-нибудь для интуиции в этой области такая штука вряд ли дает. Вы почитайте упомянутую книгу. Вам станет понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 21:06 
Аватара пользователя


24/12/11
184
Sonic86 в сообщении #533169 писал(а):
Боревич Шафаревич Теория чисел.

Спасибо, читаю.

А если продолжать линию с кабелями, то можно ли аналогично представить не $\mathbb Z_3$, а $\mathbb Q_3$? Если я правильно мыслю, то для дробного числа с $n$ знаками после запятой, нужно ещё с внешней стороны кабелей добавить $n$ уровней? Напр. чтобы получить число $x=...000.1$, нужно три больших кабеля $\mathbb Z_3$ собрать в один кабель, а $x$ будет "нулём" во первом кабеле (считаю с нуля)?

Sonic86 в сообщении #533169 писал(а):
Только вот что-нибудь для интуиции в этой области такая штука вряд ли дает.

Ну хотя бы будет интуиция в плане близости точек, сходимости. Я только теперь кажись начинаю осознавать, почему $\sum_{k=0}^\infty p^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n k^k$ будет не какая-нибудь бесконечность, а определённое $p$-адическое число $...111$, которое, в аналогии с кабелем, будет "жилкой", находящейся в первом кабеле, первом субкабеле, первом суб-субкабеле...

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 21:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8387
wallflower в сообщении #533197 писал(а):
А если продолжать линию с кабелями, то можно ли аналогично представить не $\mathbb Z_3$, а $\mathbb Q_3$? Если я правильно мыслю, то для дробного числа с $n$ знаками после запятой, нужно ещё с внешней стороны кабелей добавить $n$ уровней? Напр. чтобы получить число $x=...000.1$, нужно три больших кабеля $\mathbb Z_3$ собрать в один кабель, а $x$ будет "нулём" во первом кабеле (считаю с нуля)?
Ну что-то вроде, только $\mathbb {Q}_3$ к $p$-адическим числам вроде отношения не имеет :roll: А, понял: Запись $\mathbb {Q}_p$ двусмысленна: так обозначается поле $p$-адических чисел, либо множество рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на $p$.
Вот для представления поля $p$-адических чисел Вам кроме бесконечного числа дроблений кабелей вглубь нужно добавить бесконечное число собираний кабелей извне (замечательное пространство получается, у меня аж клаустрофобия начинается.)
Если сможете еще и алгебраическое замыкание поля представить - все художники-абстракционисты вместе с Фоменко Вам обзавидуются :lol: .

wallflower в сообщении #533197 писал(а):
Ну хотя бы будет интуиция в плане близости точек, сходимости. Я только теперь кажись начинаю осознавать, почему $\sum_{k=0}^\infty p^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n k^k$ будет не какая-нибудь бесконечность, а определённое $p$-адическое число $...111$, которое, в аналогии с кабелем, будет "жилкой", находящейся в первом кабеле, первом субкабеле, первом суб-субкабеле...
Ну да, но просто картинка от обычного изображения $p$-адических чисел как "бесконечных дробей, продолженных влево и вправо" отличается лишь намеком на "круговую расположенность" кабелей одного надкабеля в цикле. Т.е. сходимость усматривается уже даже в формальных обозначениях.
Но вообще прикольно, можно пробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 21:42 
Аватара пользователя


24/12/11
184
Sonic86 в сообщении #533200 писал(а):
нужно добавить бесконечное число собираний кабелей извне

А почему бесконечное? Ведь "адрес" жилки (последовательность номеров вложенных кабелей), как я понимаю, есть ровно та принятая запись $p$-адичного числа как $...a_3 a_2 a_1$, где $a_i$ -- цифры от $0$ до $p-1$. Справа, после запятой, вроде бы только конечное число цифр может быть?..

Sonic86 в сообщении #533200 писал(а):
алгебраическое замыкание поля

А что это?... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Цитата:
Наглядный образ p-адических чисел

http://theorphys.mipt.ru/mezhpr/video-m ... eto-3.html
На элементарном уровне.
Вдруг пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 21:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8387
wallflower в сообщении #533207 писал(а):
А почему бесконечное? Ведь "адрес" жилки (последовательность номеров вложенных кабелей), как я понимаю, есть ровно та принятая запись $p$-адичного числа как $...a_3 a_2 a_1$, где $a_i$ -- цифры от $0$ до $p-1$. Справа, после запятой, вроде бы только конечное число цифр может быть?..
Может я вру? :roll:
Поле строится так: берется кольцо $p$-адических чисел, обозначаемое $Z_p$ и строится поле его частных $Q_p$. Так если $a=a_0+a_1p+a_2p^2+..., b=b_0+b_1p+b_2p^2+...$, то частное $c=a/b$ не обязано иметь конечный "хвост", ибо иначе $a=bc$ будет "недостаточно произвольно"?
А, точно не обязано! Просто если $a=p^ke_a, b=p^le_b, e_a, e_b$ - единицы, а $k,l \geqslant 0$, то $c=p^{k-l}e_ae_b^{-1}=p^ne_c$ - и тогда "хвост" конечен.
Ну значит Вы правильно сказали :D Однако хвоста $n$ не обязана быть ограниченой. Т.е. м.б. 1 общий надкабель, 2 общих надкабеля и т.п.

wallflower в сообщении #533207 писал(а):
Sonic86 писал(а):
алгебраическое замыкание поля
А что это?... :oops:
Ну в книжке о нем тоже есть. Это множество всех решений всех уравнений с коэффициентами из $Q_p$.
Например, алгебраическое замыкание $\mathbb{R}$ - это $\mathbb{C}$ (см. основная теорема алгебры).
На самом деле Вам скорее всего это уже не надо.

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #533214 писал(а):
http://theorphys.mipt.ru/mezhpr/video-m ... eto-3.html
Чего-то оно при частичной загрузке не работает :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.01.2012, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Sonic86 в сообщении #533216 писал(а):
Чего-то оно при частичной загрузке не работает

Хм, черт.
Ну, можно так: http://theorphys.mipt.ru/mezhpr/video-m ... 3.html.flv
.FLV - файл, 356 МБ трафика.

Или могу предложить Интуит, но там регаться вроде бы надо.
http://www.intuit.ru/video/53/

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение31.01.2012, 20:11 
Аватара пользователя


24/12/11
184
Пытаюсь найти каноническую запись числа $1/6$ в $\mathbb Q_3$ (т. е. как $\sum_{k=-m}^\infty d_k p^k$, $d_k\in\{0,1,2\}$).

$1/6$ не целое $3$-адическое число, т.к. норма равна $3>1$. Я умножаю на $3$ и получаю целое число $1/2$ с нормой $1$ (чтобы вернуться к $1/6$, я результат поделю на $3$). А вот как расписать $1/2$ в виде той суммы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение31.01.2012, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1901
СПб
$1/6=1/9+\ldots$

-- Вт янв 31, 2012 20:26:39 --

ну или так: $1/6=(1+1/3+1/9+1/27+\ldots)/9$

-- Вт янв 31, 2012 20:27:59 --

wallflower в сообщении #533532 писал(а):
т. е. как $\sum_{k=-m}^\infty d_k p^k$, $d_k\in\{0,1,2\}$

бесконечность там излишняя:)
либо и $-\infty$ рисуйте

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение31.01.2012, 20:29 
Аватара пользователя


24/12/11
184
Не, это не каноническая запись. В канонической отрицательных степеней конечное число.

-- 31.01.2012, 20:31 --

Формулку я дословно переписал с брошюрки "$p$-адический анализ в сравнении с вещественным".

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение31.01.2012, 21:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8387
wallflower в сообщении #533532 писал(а):
$1/6$ не целое $3$-адическое число, т.к. норма равна $3>1$. Я умножаю на $3$ и получаю целое число $1/2$ с нормой $1$ (чтобы вернуться к $1/6$, я результат поделю на $3$)
Угу
wallflower в сообщении #533532 писал(а):
А вот как расписать $1/2$ в виде той суммы?
решить сравнение $2x \equiv 1 \pmod {3^n}$ для всех $n$. Тут даже корень в приведенной системе вычетов просто выписать и проанализировать :-) И $d_k$ тоже выписывается явно и просто.
wallflower в сообщении #533538 писал(а):
Формулку я дословно переписал с брошюрки "$p$-адический анализ в сравнении с вещественным".
она правильна

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение11.05.2012, 16:51 


07/03/12
99
Картинка с кабелями в переводе означает следующее:
кольцо целых р-адических является обратным пределом последовательности канонических гомоморфизмов колец: $Z_{p^{n+1}}\,\to\,Z_{p^n}$ Чтобы получить поле, нужно взять кольцо частных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наглядный образ p-адических чисел
Сообщение30.11.2016, 21:59 


29/11/16
2
Это различные методы вычисления "цифра за цифрой" в p-ичной системе счисления.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group