Наглядный образ p-адических чисел

[wallflower]

Постоянно слышу про $p$-адические числа и, наконец, решил узнать, что это за зверь. К сожалению, Википедия и другие источники меня только запутали...

Наткнулся в интернете на одну картинку ($\mathbb Z_3$) и пытаюсь её осознать. Поправьте, если я дальше ошибаюсь. Мы берём натуральный ряд и расклыдываем его на три части в зависимости от остатка от деления на три. Далее, в каждой кучке мы делим числа по остатку на 9 (кучек опять будет три) и т. д. до бесконечности. Я пытаюсь представить натуральный ряд как множество сверхтонких жил проводов, а $\mathbb Z_3$ получается своего рода кабель. То есть этот кабель состоит из трёх подкабелей, каждый из подкабелей состоит из трёх подкабелей меньшего сечения и т. д. Конкретное число из $\mathbb Z_p$ -- это "жилка" в этом кабеле, определяемая бесконечной последовательностью номеров подкабелей (цифры 0, 1, 2 в зависимости от подкабеля, в который жилка попадает). Получается, что чем ближе два числа в смысле $\mathbb Z_3$-метрики, тем на более глубоком уровне вложенности их кабели расходятся.

Это хоть немного похоже на правду?

[arseniiv]

Только скажу, что вроде бы $\mathbb Z_3$ обычно обозначает группу остатков от деления на 3 по сложению. И соответствующее поле.

[Sonic86]

wallflower в сообщении #533158 писал(а):

Постоянно слышу про $p$-адические числа и, наконец, решил узнать, что это за зверь. К сожалению, Википедия и другие источники меня только запутали...

Боревич Шафаревич Теория чисел. Про $p$-адические числа там рассказано просто в самом начале. Но с картинками туговато, конечно

wallflower в сообщении #533158 писал(а):

Это хоть немного похоже на правду?

Ха! Прикольно, немного похоже. Сложение примерно также можно интерпретировать. Ну с умножением все плохо как всегда. Подгруппу единиц примерно также. Подгруппу $\mathbb{Z}$ тоже можно. Ну функцию так более-менее можно вообразить
Только вот что-нибудь для интуиции в этой области такая штука вряд ли дает. Вы почитайте упомянутую книгу. Вам станет понятно.

[wallflower]

Sonic86 в сообщении #533169 писал(а):

Боревич Шафаревич Теория чисел.

Спасибо, читаю.

А если продолжать линию с кабелями, то можно ли аналогично представить не $\mathbb Z_3$, а $\mathbb Q_3$? Если я правильно мыслю, то для дробного числа с $n$ знаками после запятой, нужно ещё с внешней стороны кабелей добавить $n$ уровней? Напр. чтобы получить число $x=...000.1$, нужно три больших кабеля $\mathbb Z_3$ собрать в один кабель, а $x$ будет "нулём" во первом кабеле (считаю с нуля)?

Sonic86 в сообщении #533169 писал(а):

Только вот что-нибудь для интуиции в этой области такая штука вряд ли дает.

Ну хотя бы будет интуиция в плане близости точек, сходимости. Я только теперь кажись начинаю осознавать, почему $\sum_{k=0}^\infty p^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n k^k$ будет не какая-нибудь бесконечность, а определённое $p$-адическое число $...111$, которое, в аналогии с кабелем, будет "жилкой", находящейся в первом кабеле, первом субкабеле, первом суб-субкабеле...

[Sonic86]

wallflower в сообщении #533197 писал(а):

А если продолжать линию с кабелями, то можно ли аналогично представить не $\mathbb Z_3$, а $\mathbb Q_3$? Если я правильно мыслю, то для дробного числа с $n$ знаками после запятой, нужно ещё с внешней стороны кабелей добавить $n$ уровней? Напр. чтобы получить число $x=...000.1$, нужно три больших кабеля $\mathbb Z_3$ собрать в один кабель, а $x$ будет "нулём" во первом кабеле (считаю с нуля)?

Ну что-то вроде, только $\mathbb {Q}_3$ к $p$-адическим числам вроде отношения не имеет А, понял: Запись $\mathbb {Q}_p$ двусмысленна: так обозначается поле $p$-адических чисел, либо множество рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на $p$.
Вот для представления поля $p$-адических чисел Вам кроме бесконечного числа дроблений кабелей вглубь нужно добавить бесконечное число собираний кабелей извне (замечательное пространство получается, у меня аж клаустрофобия начинается.)
Если сможете еще и алгебраическое замыкание поля представить - все художники-абстракционисты вместе с Фоменко Вам обзавидуются .

wallflower в сообщении #533197 писал(а):

Ну хотя бы будет интуиция в плане близости точек, сходимости. Я только теперь кажись начинаю осознавать, почему $\sum_{k=0}^\infty p^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n k^k$ будет не какая-нибудь бесконечность, а определённое $p$-адическое число $...111$, которое, в аналогии с кабелем, будет "жилкой", находящейся в первом кабеле, первом субкабеле, первом суб-субкабеле...

Ну да, но просто картинка от обычного изображения $p$-адических чисел как "бесконечных дробей, продолженных влево и вправо" отличается лишь намеком на "круговую расположенность" кабелей одного надкабеля в цикле. Т.е. сходимость усматривается уже даже в формальных обозначениях.
Но вообще прикольно, можно пробовать.

[wallflower]

Sonic86 в сообщении #533200 писал(а):

нужно добавить бесконечное число собираний кабелей извне

А почему бесконечное? Ведь "адрес" жилки (последовательность номеров вложенных кабелей), как я понимаю, есть ровно та принятая запись $p$-адичного числа как $...a_3 a_2 a_1$, где $a_i$ -- цифры от $0$ до $p-1$. Справа, после запятой, вроде бы только конечное число цифр может быть?..

Sonic86 в сообщении #533200 писал(а):

алгебраическое замыкание поля

А что это?...

[Nemiroff]

Цитата:

Наглядный образ p-адических чисел

http://theorphys.mipt.ru/mezhpr/video-m ... eto-3.html
На элементарном уровне.
Вдруг пригодится.

[Sonic86]

wallflower в сообщении #533207 писал(а):

А почему бесконечное? Ведь "адрес" жилки (последовательность номеров вложенных кабелей), как я понимаю, есть ровно та принятая запись $p$-адичного числа как $...a_3 a_2 a_1$, где $a_i$ -- цифры от $0$ до $p-1$. Справа, после запятой, вроде бы только конечное число цифр может быть?..

Может я вру?
Поле строится так: берется кольцо $p$-адических чисел, обозначаемое $Z_p$ и строится поле его частных $Q_p$. Так если $a=a_0+a_1p+a_2p^2+..., b=b_0+b_1p+b_2p^2+...$, то частное $c=a/b$ не обязано иметь конечный "хвост", ибо иначе $a=bc$ будет "недостаточно произвольно"?
А, точно не обязано! Просто если $a=p^ke_a, b=p^le_b, e_a, e_b$ - единицы, а $k,l \geqslant 0$, то $c=p^{k-l}e_ae_b^{-1}=p^ne_c$ - и тогда "хвост" конечен.
Ну значит Вы правильно сказали Однако хвоста $n$ не обязана быть ограниченой. Т.е. м.б. 1 общий надкабель, 2 общих надкабеля и т.п.

wallflower в сообщении #533207 писал(а):

Sonic86 писал(а):

алгебраическое замыкание поля

А что это?...

Ну в книжке о нем тоже есть. Это множество всех решений всех уравнений с коэффициентами из $Q_p$.
Например, алгебраическое замыкание $\mathbb{R}$ - это $\mathbb{C}$ (см. основная теорема алгебры).
На самом деле Вам скорее всего это уже не надо.

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #533214 писал(а):

http://theorphys.mipt.ru/mezhpr/video-m ... eto-3.html

Чего-то оно при частичной загрузке не работает

[Nemiroff]

Sonic86 в сообщении #533216 писал(а):

Чего-то оно при частичной загрузке не работает

Хм, черт.
Ну, можно так: http://theorphys.mipt.ru/mezhpr/video-m ... 3.html.flv
.FLV - файл, 356 МБ трафика.

Или могу предложить Интуит, но там регаться вроде бы надо.
http://www.intuit.ru/video/53/

[wallflower]

Пытаюсь найти каноническую запись числа $1/6$ в $\mathbb Q_3$ (т. е. как $\sum_{k=-m}^\infty d_k p^k$, $d_k\in\{0,1,2\}$).

$1/6$ не целое $3$-адическое число, т.к. норма равна $3>1$. Я умножаю на $3$ и получаю целое число $1/2$ с нормой $1$ (чтобы вернуться к $1/6$, я результат поделю на $3$). А вот как расписать $1/2$ в виде той суммы?

[alcoholist]

$1/6=1/9+\ldots$

-- Вт янв 31, 2012 20:26:39 --

ну или так: $1/6=(1+1/3+1/9+1/27+\ldots)/9$

-- Вт янв 31, 2012 20:27:59 --

wallflower в сообщении #533532 писал(а):

т. е. как $\sum_{k=-m}^\infty d_k p^k$, $d_k\in\{0,1,2\}$

бесконечность там излишняя:)
либо и $-\infty$ рисуйте

[wallflower]

Не, это не каноническая запись. В канонической отрицательных степеней конечное число.

-- 31.01.2012, 20:31 --

Формулку я дословно переписал с брошюрки "$p$-адический анализ в сравнении с вещественным".

[Sonic86]

wallflower в сообщении #533532 писал(а):

$1/6$ не целое $3$-адическое число, т.к. норма равна $3>1$. Я умножаю на $3$ и получаю целое число $1/2$ с нормой $1$ (чтобы вернуться к $1/6$, я результат поделю на $3$)

Угу

wallflower в сообщении #533532 писал(а):

А вот как расписать $1/2$ в виде той суммы?

решить сравнение $2x \equiv 1 \pmod {3^n}$ для всех $n$. Тут даже корень в приведенной системе вычетов просто выписать и проанализировать И $d_k$ тоже выписывается явно и просто.

wallflower в сообщении #533538 писал(а):

Формулку я дословно переписал с брошюрки "$p$-адический анализ в сравнении с вещественным".

она правильна

[muzeum]

Картинка с кабелями в переводе означает следующее:
кольцо целых р-адических является обратным пределом последовательности канонических гомоморфизмов колец: $Z_{p^{n+1}}\,\to\,Z_{p^n}$ Чтобы получить поле, нужно взять кольцо частных.

[dsmirnov]

Это различные методы вычисления "цифра за цифрой" в p-ичной системе счисления.