2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 16:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Существуют ли три различных нечётных числа таких, что сумма любых двух из них является факториалом натурального
числа?

б) А существуют ли 4 таких числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:36 


05/09/16
11453
Ktina в сообщении #1172440 писал(а):
Существуют ли три различных нечётных числа таких, что сумма любых двух из них является факториалом натурального
числа?

Да, например $-345;351;369$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
714 и 696 факториалами каких натуральных чисел являются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:43 


05/09/16
11453
whitefox
Первое число это "минус триста сорок пять", так что суммы 714 и 696 не получаются, а получаются 6, 24 и 720.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:44 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Хитро придумано :appl: Я тоже не сразу понял, что первое число отрицательное; подумал, что это тире, но через полминуты всё встало на свои места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
wrest в сообщении #1172472 писал(а):
Первое число это "минус триста сорок пять"

Ну тогда, да. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение28.11.2016, 17:59 


05/09/16
11453
Aritaborian в сообщении #1172473 писал(а):
Хитро придумано

В натуральных нечетных числах решений похоже нет, поскольку при любых трех возрастающих факториалах, третий всегда больше суммы первых двух ($0!$ исключаем, факториалы считаем с единицы), а первое (наименьшее) число искомой тройки равно половине разности суммы двух меньших факториалов и наибольшего факториала.
В нашем случае это $\dfrac{3!+4!-5!}{2}=-345$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 10:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
wrest в сообщении #1172472 писал(а):
whitefox
Первое число это "минус триста сорок пять", так что суммы 714 и 696 не получаются, а получаются 6, 24 и 720.

Тоже неплохо. У меня было -47, 49 и 71.
Осталось доказать, что 4 числа нельзя. Подсказка первая: это не так трудно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 11:17 
Аватара пользователя


25/03/09
94
У любой тройки решений - одно число отрицательное. Значит, у возможной четверки чисел должно быть минимум два отрицательных, а их сумма уже не подходит.

А зачем нечетность? Разве что отпадет самый простой вариант $2!\,3!\,4!$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 11:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
covax в сообщении #1172704 писал(а):
А зачем нечетность?

За печкой.
Среди любых трёх нечётных чисел найдутся два, сумма которых не кратна 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых двух - факториал
Сообщение29.11.2016, 12:19 


05/09/16
11453
Ktina в сообщении #1172708 писал(а):
Среди любых трёх нечётных чисел найдутся два, сумма которых не кратна 4.

Насколько это критично? Попарные суммы четырех различных чисел (в т.ч. 4-х нечетных) необязательно различны (в отличие от попарных сумм трех различных чисел).
А вот довод о том, что среди тройки одно должно быть отрицательным и два положительными, а четверку так чтобы в ней все тройки были такие, не наберешь, мне кажется правильным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group