Непрерывное отображение

[Aiyyaa]

Помогите решить задачу по функциональному анализу, по непрерывному отображению. Даны 2 пространства $\mathbf{X}=L_1[0,1]$ и $\mathbf{Y}=L_2[0,1]$, отображение $(Fx)(t)=x(t)$ и точка $x_0=0$. Необходимо ответить на вопрос, является ли заданное отображение из X в Y на своей естественной области определения непрерывным в точке $x_0$?
По определению непрерывности:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \mid \rho (x,x_0)< \delta \Rightarrow \rho (F(x),F(x_0))< \varepsilon$
В пространстве $L_1[0,1]$ метрика задаётся формулой $\pho (x(t),y(t))=\int\limits_{0}^{1}|x(t)-y(t)|dt$, то есть в случае данной задачи $\pho (x,x_0)=\int\limits_{0}^{1}|x(t)|dt$.
В пространстве $L_2[0,1]$ метрика задаётся формулой $\pho (x(t),y(t))=\sqrt{\int\limits_{0}^{1}|x(t)-y(t)|dt}$, то есть в случае данной задачи $\pho (x,x_0)=\sqrt{\int\limits_{0}^{1}|x(t)|^2dt}$.
Объясните пожалуйста, как определить, является отображение непрерывным или нет, как решить этот пример.

Нужно подобрать такой пример функции, которая входит в $C_1[0,1]$, но не входит в $C_2[0,1]$, что будет показывать, что это отображение не является непрерывным? В таком случае, подойдёт ли функция
$f(x)=$\begin{cases} $\frac{1}{\sqrt{x}}$,&\text{если $0<x\leqslant 1$;}\\ 0,&\text{в остальных случаях.} \end{cases}$$?

[Brukvalub]

Попробуйте построить последовательность функций из пространства $L_1[0,1]$, норма которых убывает к нулю, а в пространстве $ L_2[0,1]$ их норма не стремится к нулю. Какой вывод отсюда будет следовать?

[Aiyyaa]

Brukvalub в сообщении #1171892 писал(а):

Попробуйте построить последовательность функций из пространства $L_1[0,1]$, норма которых убывает к нулю, а в пространстве $ L_2[0,1]$ их норма не стремится к нулю.

я не знаю, как построить такую последовательность.

[Padawan]

Приведите пример функции, принадлежащей пространству $L_1[0,1]$, но не принадлежащей пространству $L_2[0,1]$.

[Dan B-Yallay]

Aiyyaa в сообщении #1171903 писал(а):

я не знаю, как построить такую последовательность.

Тогда хотя бы один такой элемент.

-- Сб ноя 26, 2016 10:56:42 --

Опередили...

[Aiyyaa]

Padawan в сообщении #1171905 писал(а):

Приведите пример функции, принадлежащей пространству $L_1[0,1]$, но не принадлежащей пространству $L_2[0,1]$.

я не могу привести пример такой функции.

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1171903 писал(а):

я не знаю, как построить такую последовательность.

Aiyyaa в сообщении #1171912 писал(а):

я не могу привести пример такой функции.

Может, вам тогда и не нужно пытаться решать подобные задачи, раз вы ничего не знаете и не умеете?

[Aiyyaa]

но мне нужно решить этот пример.

[Brukvalub]

Aiyyaa, все нужные подсказки вы получили выше. Дальше можно только написать вам готовое решение, а это запрещено правилами.

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1171905 писал(а):

Приведите пример функции, принадлежащей пространству $L_1[0,1]$, но не принадлежащей пространству $L_2[0,1]$.

Aiyyaa в сообщении #1171912 писал(а):

я не могу привести пример такой функции.

Поищите пример такой функции среди функций вида $f(x)=x^{-r}$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.