Вопрос по примеру гармонической функции

[Hasek]

Есть два эквивалентных определения гармонических функций:

• Функция $u\colon U\to \mathbb{R}$ называется гармонической, если локально она представима в виде вещественной части некоторой голоморфной функции.
• Функция $u$ гармоническая в области $U$, если $u \in C^2(U)$ и удовлетворяет уравнению Лапласа $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ в $U$.

Так же известно, что можно привести пример гармонической в некоторой области функции, которая в этой области не является вещественной частью никакой голоморфной функции. Нашёл вот такой пример. Почему предложенные там $u = \log(x^2+y^2)$ и $v = 2 \arctg(\frac{y}{x})$ являются вещественной и мнимой частью одной и той же голоморфной функции мне понятно -- удовлетворяют условиям Коши-Римана. Мне лишь непонятно, почему мы сразу же заключаем, что $u$ гармоническая? Уравнению Лапласа она не удовлетворяет и, как хотим показать, вещественной часть голоморфной функции тоже не является.

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1170082 писал(а):

Уравнению Лапласа она не удовлетворяет

Да?

Наводящий вопрос: где?

[Hasek]

Частные производные:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{-4x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2}{x^2+y^2}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{-4y^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2}{x^2+y^2}$
Так что везде не удовлетворяет.

[Slav-27]

Hasek
А теперь складывайте!

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1170097 писал(а):

Hasek
А теперь складывайте!

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{-4x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2}{x^2+y^2} + \frac{-4y^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2}{x^2+y^2} = - \frac{4(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{4}{x^2 + y^2}$

А, да, домножаем числитель и знаменатель второго слагаемого на $(x^2 + y^2)$ и получаем $0$. Действительно, что-то переклинило меня.

Значит, возвращаясь к исходному заданию о примере, заключаем, что $u$ гармоническая везде в $\mathbb{C}\smallsetminus \{0\}$, а $v$ не определена на координатной оси $y$, значит на любом множестве, не содержащем $0$ и содержащем точки с координатами $(x=0,y)$, функция $u$ гармоническая, но не является часть голоморфной.

Спасибо!

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1170100 писал(а):

значит на любом множестве, не содержащем $0$ и содержащем точки с координатами $(x=0,y)$, функция $u$ гармоническая, но не является часть голоморфной.

Надо аккуратнее. Локально она около любой точки, кроме нуля, "является частью голоморфной". Но нет функции, голоморфной на $\mathbb C \setminus \{0\}$, вещественная часть которой есть $u$.

[Red_Herring]

Hasek в сообщении #1170082 писал(а):

Есть два эквивалентных определения гармонических функций:

Только в размерности 2. В размерностях >2 только второе определение сохраняется (ну, есть и другие, не связанные с голоморфными функциями)