Гипотеза n - ных степеней

[Soul Friend]

Спасибо за ответы.По ссылке выше, да и в других местах я смотрел, только не понимаю почему квадраты изучают треугольниками, и кроме $a, b, c$ ещё надо вычитывать $m, n, l$.
Поделюсь своим методом "Нахождение всех Пифагоровых троек методом приращения квадрата" :

$$a^2+b^2=c^2$$

$$\sqrt{\left(\frac{a^2-n^2}{2n}\right)^2+a^2}=c$$

Здесь $n$ означает на сколько мы приращаем один квадрат в другой. Для поиска всех Пифагоровых троек для числа $a$ мы перебираем все значения $n$ от 1 до $a$, значение $c$должно быть целым. Здесь $b$ равно $\frac{a^2-n^2}{2n}$.

-- 23.10.2016, 03:07 --

простые Пифагоровы тройки здесь получаются когда $n$ нечетное число и $a$ нечётное число, и когда $n$ чётное число и $a$ чётное которое при делении на два получается тоже чётное число.

[Otta]

Soul Friend в сообщении #1162077 писал(а):

только не понимаю почему квадраты изучают треугольниками,

Потому что знают теорему Пифагора.

Soul Friend в сообщении #1162077 писал(а):

$$a^2+b^2=c^2$$

$$\sqrt{\left(\frac{a^2-n^2}{2n}\right)^2+a^2}=c$$

Здесь $n$ означает на сколько мы приращаем один квадрат в другой. Для поиска всех Пифагоровых троек для числа $a$ мы перебираем все значения $n$ от 1 до $a$, значение $c$должно быть целым. Здесь $b$ равно $\frac{a^2-n^2}{2n}$.

Это все хорошо, только по сути означает подбор значений, которые подойдут под уравнение. Потому что Вы не знаете заранее для какого $a$ найдется такое $n$, чтобы в Вашей формуле $c$ оказалось натуральным числом.

Та параметризация, назначения которой Вы не поняли, предназначена как раз для того, чтобы избежать такого тупого перебора и по $m,n$ восстанавливать уже готовые тройки. (Возможно, домножая или деля на константу все три числа.)

[Soul Friend]

для всех $a$ - чётное число, есть решение при $n=2$ , для всех $a$ - нечётное число, есть решение при $n=1$

[Soul Friend]

Раз уж тема называется Гипотеза $n$ -ных степеней, спрошу здесь. У квадрата две стороны и четыре рёбер, можно представить как $2^2$ - рёбер и $\frac{2^2}{2}$ - сторон. У куба $2^3+2^2$ - рёбер и $\frac{2^3+2^2}{2}$ - сторон. Можно ли так же продолжить аналогии и для других степеней, например: $2^4+2^3+2^2$ - рёбер и $\frac{2^4+2^3+2^2}{2}$ - сторон для четвёртой степени, хотя считают что у тессеракта 32 ребра.

[Soul Friend]

[Otta]

Soul Friend в сообщении #1162091 писал(а):

для всех $a$ - чётное число, есть решение при $n=2$ , для всех $a$ - нечётное число, есть решение при $n=1$

Да, разумеется. Хотя это одно и то же. Вы бы еще обосновывали все это - и тогда бы видели, насколько это просто получить.
Математика - не генерирование формул; как получается, дело второе, важнее - почему.

А Вы получили одно из семейств пифагоровых троек. Для $m=a, n=1$. Ну что же, хорошо. Обоснуйте хотя бы в Вашем частном случае и хотя бы для себя, почему это действительно решение. Иначе все это - лишено особого смысла.

Soul Friend в сообщении #1162115 писал(а):

У квадрата две стороны и четыре рёбер,

??? Я знаю, что такое стороны квадрата, хотя всегда считала, что их 4, но вот про ребра квадрата слышу в первый раз.

Soul Friend в сообщении #1162115 писал(а):

У куба $2^3+2^2$ - рёбер и $\frac{2^3+2^2}{2}$ - сторон.

У куба есть ребра и грани. Ребер действительно 12. Граней действительно 6. Но не потому, что надо число ребер поделить пополам. Возьмите что-нибудь в трехмерном пространстве, пирамиду, например, и потренируйтесь на ней. Глядишь, что и заметите :) давно известного, правда. Но все равно, самому интереснее.

Картинка Ваша я не поняла, зачем. (И делайте их поменьше в размерах, пожалуйста.) Обычно ею в средней школе иллюстрируют формулу для квадрата суммы. А Вы что хотели сказать?

[Soul Friend]

Достаточно того, чтобы $n$ была делителем $a$. Рисунок это иллюстрация формулы(учту, в будущем буду сжимать их). Обычно, когда говорят про степени воображают квадраты и куба(кубы?). Воображая четвёртую степень, хотелось бы иметь точные параметры гиперкуба. Пирамиды и кубы это разные геометрические фигуры и прародители разные, соответственно отличаются по параметрам.Я, так сказать, намберфил без диплома, и увлекся математикой последние пару лет, и я стараюсь придерживаться правильных формулировок. Где мне это не удаётся там и появляются рёбра квадратов )))

[Otta]

Soul Friend в сообщении #1162140 писал(а):

Рисунок это иллюстрация формулы

Поясните, какой формулы и почему она иллюстрация.

Soul Friend в сообщении #1162140 писал(а):

Достаточно того, чтобы $n$ была делителем $a$

Да, достаточно. И то, что получится - практически классическая пифагорова тройка, просто в другой записи.

-- 23.10.2016, 12:56 --

Soul Friend в сообщении #1162140 писал(а):

Пирамиды и кубы это разные геометрические фигуры и прародители разные, соответственно отличаются по параметрам.

А вот результаты почему-то общие, а пока Вы будете придерживаться ложной концепции о важности их генетического происхождения, они пройдут мимо Вас. Причем, совершенно необязательно выводить их самостоятельно. Проблема, однако, в том, что взявшись за самостоятельный вывод в частном случае, Вы получаете совсем не то, что верно на самом деле. Да и вывода не видно. Скорее, это можно назвать некоторыми подмеченными ложными закономерностями.

Ну например, типа как если бы Вы считали длину, площадь, и так далее отрезка, квадрата... со стороной два по последовательности 2, 4, продолжив ее шестеркой.

У Вас какие-то вопросы или их нет? Потому что Вы складываете сюда готовые формулы или значения, не делая попыток самому же в них разобраться. Что явно противоречит названию раздела.

[Soul Friend]

Да я не пытаюсь доказывать доказанное, и тем более претендовать на авторство теоремы Пифагора. Просто изложил в своем нынешнем понимании эту тройку $abc$ из квадратов. И вам эти мои доказательства никчему. Я же, постараюсь, для себя, узнать больше. И мы же не в дисскуссионном разделе. Вам огромное спасибо за помощь. Так что там на счёт тессеракта..?

[Karan]

Soul Friend в сообщении #1162144 писал(а):

И вам эти мои доказательства никчему.

Доказательства как раз нужны. Если нет доказательств - это не математика. Этот форум как раз для того, чтобы другие люди могли помочь Вам эти доказательства придумать или проверить. Но для этого Вы должны продемонстрировать какие-то свои попытки.

По поводу тессеракта создайте отдельную тему, сформулируйте, что Вы хотите доказать и что Вы пытались для этого сделать.

[Soul Friend]

Попробую доказать. Любое нечётное число $a$ можно возвести в квадрат. Квадрат нечётного числа всегда нечётное число. Отняв единицу (или любой другой квадрат нечётного числа, меньшее данной) получаем чётное число. Любое чётное число делится на $2$ . Разделив полученное число на $2$ получаем два равных перпендикулярных ребра одного квадрата ($b$), прибавив единицу ( ту, которую отняли вначале) на $b$ получаем $c$. Может, это больше алгоритм нежели доказательство.

-- 23.10.2016, 15:14 --

Можете привести пример Пифагоровой тройки $a, b, c$, которую не сможет сгенерировать формула выше.

[Otta]

Soul Friend
Пишите формулы. Я лично не в состоянии понять, как, разделив число на два, мы получаем не число, а аж два ребра квадрата, да еще перпендикулярные. Почему квадрата? почему два? почему перпендикулярные?

Или Вы хотите, чтобы это было стороной квадрата? тогда так и пишите. Дальше текст не имеет отношения к Вашей формуле. Если Вы считаете, что имеет - обосновывайте.

[Soul Friend]

Otta
Благодарю за настойчивость мне помочь. Немного разобрался с параметрами $m, n$, и согласен с тем, что Формула Евклида является фундаментальной, и с правилами форума когда человеку самому надо найти решение.
Теперь буду искать связь между $b=2nm$ и

$$b=\frac{(a^2-l^2)}{2l}$$

[Soul Friend]

немного легче находить $a, b, c$ через $b$.
$b$ - тот квадрат, который мы имеем вначале. $c$ - квадрат который мы хотим получить $c=b+n$ . Тогда $a^2=2bn+n^2$;
$a$ - может оказаться не всегда натуральным числом.
Чтобы заранее знать целые $a, b, c$ пользуются формулой Евклида.
Сократил формулу вначале темы :

$$\left(4\left(\left(n+1\right)\left(\frac{n}{2} \right) \right) \right)^2+\left(2n+1\right)=\left(\left(4\left(\left(n+1\right)\left(\frac{n}{2} \right) \right) \right)+1\right)^2 $$

[Soul Friend]

четыре года всё ещё топчусь на одном месте, как сделать так чтобы при одном значении $m, n$ получить разные примитивные Пифагоровые тройки? Домнажением ведь не получится. Вот несколько вариантов:

$$(1) \,x=m^2-n^2 \, ;\, y=2mn$$

$$(2) \, x=m^2-n\,, ;\, y=2m\sqrt{n}$$

$$(3) \,x=m-n \,;\,, y=2\sqrt{mn}$$

для примера $m=9$, $n=4$.

есть ли ещё такие подобные значения $x\, , \, y$, и если это не домнажение то что?
можно проверить на примитивность так:

$$ \sqrt{\left(\frac{x}{n}\right)^2+\left(\frac{y}{n}\right)^2}$$

если выходит целое натуральное число, то тройка не примитивна.