Наилучший результат, который Вы ищите, такой (из Бине):

Лучше быть не может, для того вида неравенства, которое Вы ищите. Если очень хочется, то можете выразить своё

через логарифм от

. Попробуйте доказать это индукцией, это имеет учебный смысл, а зачем доказывать намного более грубое неравенство, когда известно простое точное?