2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 15:43 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Предлагаю вам задачу, родившуюся у меня в голове во время решения другой задачи.
Доказать тригонометрическое тождество для всех нечетных положительных $m$:
$$1+ 2\cos\alpha+ 2\cos2\alpha+ 2\cos3\alpha+...+\cos  {\left[ {\frac{{2m + 1}}{4}} \right]\alpha } \equiv  $$
$$ 2\left( {\cos \frac{1}{2}\alpha  + \cos 1\frac{1}{2}\alpha  + \cos 2\frac{1}{2}\alpha  + ... + \cos \left( {\frac{1}{2} + \left[ {\frac{{2m - 1}}{4}} \right]} \right)\alpha } \right)$$
если $\alpha  = \frac{{360}}{{2m + 1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 16:40 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
Ну, стандартный прием (домножение-деление на синус половинного угла) дает что надо.
А можно так: рассмотрим правильный $2m+1$- угольник с центром 0 и вершиной в 1.. Сумма векторов из центра - в его вершины равна 0. Первая сумма - Сумма "идущих направо", вторая - "идущих налево" (с минусом)....

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 16:51 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DeBill в сообщении #1139497 писал(а):
Сумма векторов из центра - в его вершины равна 0. Первая сумма - Сумма "идущих направо", вторая - "идущих налево" (с минусом)....

Вот, вы видимо очень опытный, наверняка заметили, что данное тождество можно интерпретировать, как утверждение о том, что равнодействующая $2m+1$ равных по модулю векторов, направленных из одной точкой под одинаковыми углами равна 0.Я как раз таки пытался доказать что утверждение через это тождество.Однако я в школе не проходил методы решения тригонометрических уравнений, особенно методы решения таких мудреных тождеств,поэтому алгебраически доказать не могу.

-- 22.07.2016, 17:56 --

Меня смущает целая часть, а так можно решить используя косинус половинного угла и суммы

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 17:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
Rusit8800 в сообщении #1139499 писал(а):
направленных из одной точкой под одинаковыми углами равна 0

Классическое д-во: повернем все вектора на наш угол. Сумма не изменится. Значит, она равна 0.

И: как свернуть сумму синусов (косинусов), аргументы которых образуют арифм. прогрессию с разностью $d$ : домножить на $\sin(\frac{d}{2})$, и превратить произведения в суммы: все (почти) сократится.

-- 22.07.2016, 18:11 --

Rusit8800 в сообщении #1139499 писал(а):
смущает целая часть,

По условию,$m$ нечетно. Так что целая часть считается явно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 17:16 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Цитата:
Классическое д-во: повернем все вектора на наш угол. Сумма не изменится. Значит, она равна 0

Ну уж нет, для нахождения равнодействующей нужно делать параллельный перенос, и начало одного вектора, сопоставлять с концом второго(здесь по правилу многоугольника)
Цитата:
По условию,$m$ нечетно. Так что целая часть считается явно

Здесь согласен, но нужно рассмотреть два варианта, получается

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 17:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
Rusit8800 в сообщении #1139505 писал(а):
Ну уж нет

:D
Я говорю про сумму
Rusit8800 в сообщении #1139499 писал(а):
равных по модулю векторов, направленных из одной точкой под одинаковыми углами

При повороте на этот самый угол первый переходит во второй, второй - в третий, последний - в первый. Так что сумма не меняется....

-- 22.07.2016, 18:47 --

Rusit8800 в сообщении #1139505 писал(а):
нужно рассмотреть два варианта,

Если $m=2n+1$, то обе Вашт целые части равны $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 18:10 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Цитата:
При повороте на этот самый угол первый переходит во второй, второй - в третий, последний - в первый. Так что сумма не меняется....

Я опять не понимаю, вектора можно сравнивать только по параллельному переносу.Эти вектора не могут перейти друг в друга, по крайней мере потому что они не параллельны.

-- 22.07.2016, 19:12 --

Цитата:
нужно рассмотреть два варианта


$$\eqalign{
  & 1)\left[ {\frac{{2m + 1}}{4}} \right] = \left[ {\frac{{2m - 1}}{4}} \right]  \cr 
  & 2)\left[ {\frac{{2m + 1}}{4}} \right] = \left[ {\frac{{2m - 1}}{4}} \right] + 1 \cr} $$

-- 22.07.2016, 19:21 --

По моему правое выражение-это арифметико-геометрическая прогрессия: следующий член прогрессии получается умножением предыдущего минус квадрат синуса этого угла.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.07.2016, 19:00 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: олимпиадность кончилась.


-- 22.07.2016, 21:01 --

 !  Rusit8800
Не предлагайте к решению на форуме задач, которые Вы сами не решали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 19:24 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
Rusit8800
Звиняйте: я сказал Вам все, что могло быть полезным, дале могу токо повторяться. Новых комментов не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тригонометрическое тождество
Сообщение22.07.2016, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10782
Crna Gora
Rusit8800 в сообщении #1139516 писал(а):
Я опять не понимаю, вектора можно сравнивать только по параллельному переносу.Эти вектора не могут перейти друг в друга, по крайней мере потому что они не параллельны.
Это как-то совсем наивно, нельзя же всякий раз при виде дроби вспоминать о делении столбиком. Важно, что для любого (конечного) набора векторов существует вектор, который является их суммой. Кстати, если векторы заданы координатами (компонентами), их сумму можно получить покомпонентным сложением. Тут ведь никто не вспоминает о параллельном переносе?

И в построении DeBill вектор переходит в другой вектор не при параллельном переносе, а при повороте, поэтому чтобы $\vec a$ перешёл в $\vec b$, они и не обязаны быть параллельными.

Попробуйте понять метод для случая трёх векторов $\vec a, \vec b, \vec c$. Нарисуйте три вектора: их начала поместите в начало координат, все углы между ними 120 градусов, длина у всех одинаковая, получится такой пропеллер. Метод сразу говорит: $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$.

 Профиль  
                  
 
 О равнодействующей силе
Сообщение25.09.2016, 17:50 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Пусть на плоскости дано $n$ векторов, равных по модулю, выходящих из одной точки под равными углами.Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что равнодействующая этих векторов равна 0.Я почти решил данную задачу, но на пути встало громоздкое тождество, которое я уже размещал на данном форуме topic110309.html и которое я не смог доказать.Теперь мне кажется, что это тождество не верно и,следовательно,само утверждение не верно.В итоге я бросил попытки его доказать.Вот и встает вопрос, прав ли я в своей гипотезе? Может уже где-то была такая уже задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: О равнодействующей силе
Сообщение25.09.2016, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Rusit8800 в сообщении #1154539 писал(а):
Может уже где-то была такая уже задача?
Как догадались? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: О равнодействующей силе
Сообщение25.09.2016, 18:16 
Заслуженный участник


14/10/14
1208
Rusit8800
Что вы маетесь-то, вам в той теме несколько раз объяснили, как (с помощью комплексных чисел) доказать ваше утверждение в 1 строчку. Кроме того, вам также доказали ваше тождество средствами школьной тригонометрии.

Что вам ещё надо, не представляю.

-- 25.09.2016, 19:24 --

Извините, Rusit8800, но я не могу представить, как можно попытаться понять то, что там написали, и не понять. Вы или развлекаетесь, или изложите, что конкретно непонятно; а лучше научитесь использовать комплексные числа и школьные тригонометрические формулы, прочитайте ещё раз -- и напишите, что всё поняли.

 Профиль  
                  
 
 Re: О равнодействующей силе
Сообщение25.09.2016, 19:41 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Понять - дело одно, решить - другое.Пытался я уже и "увеличивающуюся цепочку" косинусов свернуть, и синусов 2 угла использовать, но все тщетно, т.к. опыта решения тригонометрических задач нет.Буду хоть знать, что тождество верно.Пойду, обращусь к учителю математики, пусть мое решение данное задачи будет не полностью мое, главное чтоб оно было.

 Профиль  
                  
 
 Re: О равнодействующей силе
Сообщение25.09.2016, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10782
Crna Gora
А с матрицами знакомы?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group