2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:05 


16/12/12
6
Здравствуйте! Задача состоит в следующем:
Из данной точки $M$ евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности $Q$ с помощью одной линейки.
В этой задаче 2 случая:
A) Точка $M$ не принадлежит окружности;
Б) Точка $M$ принадлежит окружности.
Нахождение касательной сходится к нахождению поляры точки. В случае А я все построил. В случае Б не могу понять, как построить касательную. Помогите, пожалуйста. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Nikiror в сообщении #659038 писал(а):
Из данной точки M евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности Q с помощью одной линейки.
В этой задаче 2 случая:
A) Точка M не принадлежит окружности;
Б) Точка M принадлежит окружности.
Центр окружности известен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:42 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5684

(Оффтоп)

предыдущее сообщение удалил, т.к. глупость написал

Точно не знаю, но попробуйте использовать предельный случай паскалева шестивершинника (т.е. если в шестивершиннике одну точку $A_i$ устремить к другой $A_j$, получим касательную $A_iA_j$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:46 


16/12/12
6
TOTAL в сообщении #659048 писал(а):
Nikiror в сообщении #659038 писал(а):
Из данной точки M евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности Q с помощью одной линейки.
В этой задаче 2 случая:
A) Точка M не принадлежит окружности;
Б) Точка M принадлежит окружности.
Центр окружности известен?

Я тоже думал насчет центра окружности. В задаче ничего про это не написано. Если провести диагонали четырехвершинника через центр, то получается, что стороны этого четырехвершинника будут параллельны. Не так ли?
Изображение

-- 16.12.2012, 16:48 --

Deggial в сообщении #659053 писал(а):

(Оффтоп)

предыдущее сообщение удалил, т.к. глупость написал

Точно не знаю, но попробуйте использовать предельный случай паскалева шестивершинника (т.е. если в шестивершиннике одну точку $A_i$ устремить к другой $A_j$, получим касательную $A_iA_j$).

Там должно решаться попроще. Преподаватель сказала, что прямые нужно проводить не от "балды".

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Nikiror в сообщении #659055 писал(а):
Я тоже думал насчет центра окружности. В задаче ничего про это не написано.
Определитесь, известен или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:56 


16/12/12
6
TOTAL в сообщении #659058 писал(а):
Nikiror в сообщении #659055 писал(а):
Я тоже думал насчет центра окружности. В задаче ничего про это не написано.
Определитесь, известен или нет.

Видимо нет, т.к. в условии задачи про это ничего не сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Nikiror в сообщении #659066 писал(а):
Видимо нет, т.к. в условии задачи про это ничего не сказано.

Как решали задачу а) без известного центра?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 12:17 


16/12/12
6
TOTAL в сообщении #659067 писал(а):
Nikiror в сообщении #659066 писал(а):
Видимо нет, т.к. в условии задачи про это ничего не сказано.

Как решали задачу а) без известного центра?

Там нужно было провести из точки $M$ 2 прямые, которые пересекают окружность. Получаем четырехвершинник. Продлеваем стороны четырехвершинника. Получаем точку их пересечения. Проводим прямую, проходящую через полученную точку и точку пересечения диагоналей четырехвершинника. Данная прямая будет пересекать окружность в 2 точках. Эти точки и будут точками касания. Соединим точки с точкой $M$. Если не понятно, то могу нарисовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Nikiror в сообщении #659076 писал(а):
Соединим точки с точкой $M$. Если не понятно, то могу нарисовать.
Понятно, здесь центр окружности не используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 12:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5684
Nikiror в сообщении #659038 писал(а):
В случае Б не могу понять, как построить касательную.

Искомая касательная является полярой $P(M)$ точки $M$, поэтому Вам нужно использовать следующее свойство:
Если поляра $P(K)$ точки $K$ проходит через точку $M$, то поляра $P(M)$ точки $M$ проходит через точку $K$. Т.е. постройте произвольную прямую, не проходящую через центр квадрики, считайте ее полярой точки, постройте точку поляры и воспользуйтесь свойством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 12:39 


16/12/12
6
Deggial в сообщении #659082 писал(а):
Искомая касательная является полярой $P(M)$ точки $M$, поэтому Вам нужно использовать следующее свойство:
Если поляра $P(K)$ точки $K$ проходит через точку $M$, то поляра $P(M)$ точки $M$ проходит через точку $K$. Т.е. постройте произвольную прямую, не проходящую через центр квадрики, считайте ее полярой точки, постройте точку поляры и воспользуйтесь свойством.

Спасибо, сейчас попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Nikiror в сообщении #659076 писал(а):
Там нужно было провести из точки $M$ 2 прямые, которые пересекают окружность. Получаем четырехвершинник. Продлеваем стороны четырехвершинника. Получаем точку их пересечения. Проводим прямую, проходящую через полученную точку и точку пересечения диагоналей четырехвершинника. Данная прямая будет пересекать окружность в 2 точках. Эти точки и будут точками касания. Соединим точки с точкой $M$.


б) аналогично (в обратном порядке)

Через точку $M$ проводим прямую. На этой прямой берем т. $A$ вне окружности и т. $B$ внутри окружности. Через т. $A$ проводим секущую, через две точки пересечения этой секущей и т. $B$ проводим две хорды, получая на окружности ещё две точки. Через эти две точки и точки пересечения секущей, проведенной через т. $A$, проводим две прямые, которые пересекаются в точке, через которую и т. $M$ проводим искомую касательную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение16.12.2012, 13:10 


16/12/12
6
TOTAL в сообщении #659086 писал(а):
Nikiror в сообщении #659076 писал(а):
Там нужно было провести из точки $M$ 2 прямые, которые пересекают окружность. Получаем четырехвершинник. Продлеваем стороны четырехвершинника. Получаем точку их пересечения. Проводим прямую, проходящую через полученную точку и точку пересечения диагоналей четырехвершинника. Данная прямая будет пересекать окружность в 2 точках. Эти точки и будут точками касания. Соединим точки с точкой $M$.


б) аналогично (в обратном порядке)

Через точку $M$ проводим прямую. На этой прямой берем т. $A$ вне окружности и т. $B$ внутри окружности. Через т. $A$ проводим секущую, через две точки пересечения этой секущей и т. $B$ проводим две хорды, получая на окружности ещё две точки. Через эти две точки и точки пересечения секущей, проведенной через т. $A$, проводим две прямые, которые пересекаются в точке, через которую и т. $M$ проводим искомую касательную.

Большое спасибо. Ваш способ возможно правильный. Завтра попытаюсь сдать 2 этих способа. Еще раз спасибо за помощь. Тему не закрывайте, я завтра отпишусь о результате сдачи этой задачи. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение20.09.2016, 02:09 


20/09/16
1
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10206617528263282&set=a.10200090055000530.1073741825.1424565056&type=3&theater

 i  Добавлено Karan: ссылка ведет на Фейсбук на иллюстрацию построения касательной к эллипсу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение касательной. Проективная геометрия.
Сообщение20.09.2016, 17:01 
Модератор


19/10/15
1072
civlin, замечание за нарушение правил размещения внешних ссылок.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group