Неравенство с биноминальным коэффициентом

[Sinoid]

Здравствуйте! Хочу узнать, известно ли такое неравенство (возможно, с некоторыми изменениями граничных условий): Если $n \geqslant 2$ и $1<i \leqslant n$, то $C_{n}^{i}<n^{i}$?

[VPro]

Это неравенство очевидно следует из совсем уж очевидного $\frac{n!}{(n-i)!}<n^i$, $i>1$.

[Sinoid]

VPro в сообщении #1152350 писал(а):

Это неравенство очевидно следует из совсем уж очевидного $\frac{n!}{(n-i)!}<n^i$, $i>1$.

А меня потянуло что-то через индукцию доказывать. Там получилось, но так проще. Спасибо.