определение вещественного числа

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1150048 писал(а):

Определение фундаментальности: $\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+\;\exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N}\;\forall n,m \geqslant N(\varepsilon )\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon $.
Определение сходимости: $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+\;\exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N}\;\forall n,m \geqslant N(\varepsilon )\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon $.
Почему из первого следует второе?

Определение сходимости не такое. Иначе, кстати говоря, вопрос был бы пустой: для каждого вещественного $\varepsilon$ можно было бы взять любое большее его рациональное, от которого и брать $N$.

Плюс, скобки лишние. Зависимость $N$ от $\varepsilon$ и так понятна из структуры формулы. (В принципе, можно было бы обойтись определением, в котором $N$ действительно была бы функцией $\mathbb R_+\to\mathbb N$: $\exists N\ldots\forall\varepsilon\ldots\;\forall m,n\geqslant N(\varepsilon)\ldots$. Функции на момент определения уже есть, так что не очень понимаю, в чём загвоздка определяющих — обобщить потом до предела по фильтру это вряд ли мешает больше.)

[VAL]

Ну и отлично!
Не хотите разбираться как советую я, разбирайтесь, как считаете нужным. Успехов!

PS: Для того чтобы доказать фундаментальность (сходимость), подбирать $\varepsilon$ нельзя.
Но если мы пользуемся последовательностью, которая уже заведомо фундаментальна, мы вольны взять то $\varepsilon$, какое нам удобно. Речь шла именно об этом.

[knizhnik]

arseniiv в сообщении #1150049 писал(а):

Определение сходимости не такое.

Какое определение у сходимости?

arseniiv в сообщении #1150049 писал(а):

для каждого вещественного $\varepsilon$ можно было бы взять любое большее его рациональное, от которого и брать $N$.

Почему это можно? Пусть имеется вещественное $\varepsilon$. Возьмем для него рациональное $\varepsilon_q$ такое, что $\varepsilon < \varepsilon_q$, но $N(\varepsilon)=N(\varepsilon_q)$. По определению фундаментальности $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon_q$. Но откуда у вас гарантия, что $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon<\varepsilon_q$, а не $\varepsilon \leqslant |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon_q$?

[SomePupil]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1150043 писал(а):

Полное метрически?

Тривиальная банальщина: если взять за аксиому утверждение, данное в Зориче (полнота по Дедекинду?), то метрика не нужна, и архимедовость тоже. С другой стороны, если в качестве аксиомы взять принцип вложенных отрезков, то архимедовость уже нужна. Вообще, "полное" $-$ это неоднозначный термин (я имел ввиду полноту по Дедекинду).

arseniiv в сообщении #1150043 писал(а):

Чем не устраивает

Устраивает.

VAL в сообщении #1150042 писал(а):

Что не так?

Все так, все так. Но ведь можно все сделать еще тАковее, ведь так?

[knizhnik]

VAL в сообщении #1150050 писал(а):

разбираться как советую я

Как советуете вы:

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Пусть у нас есть фундаментальная последовательность вещественных чисел, т.е. классов ФПРЧ.

Да, например простая последовательность $a_n=\frac {1}{n+1}$ тоже подойдет.

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Ис каждого класса выбираем одну ФПРЧ.

Проще говоря, к каждому числу из списка $\frac {1}{1},\frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \ldots $ приписываем рациональную последовательность, которая сходится к этому числу. Практически это осуществить несложно. Для $\frac {1}{1}$ это может быть последовательность $x_n=\frac {1}{1}$, для $\frac {1}{2}$ это $y_n=\frac {1}{2}$, и так далее...

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Из первой последовательности берем первый элемент, из второй - второй и т.д.

В результате этого процесса получается $\frac {1}{1},\frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \ldots $, то есть изначальная наша последовательность $a_n$.

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

На основании фундаментальности исходных последовательностей доказываем, что полученная тоже фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число.

В этом примере можно не сомневаться. Поскольку получилось так, что она совпала с $a_n$, которая изначально фундаментальна.

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Оно-то и будет искомым пределом.

Мы не ищем предел. Вы не объяснили переход от фундаментальности к сходимости.

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1150055 писал(а):

Какое определение у сходимости?

Интересное. Давайте мы в эту тему все нужные вам определения из учебников перепишем.

knizhnik в сообщении #1150055 писал(а):

Почему это можно? Пусть имеется вещественное $\varepsilon$. Возьмем для него рациональное $\varepsilon_q$ такое, что $\varepsilon < \varepsilon_q$, но $N(\varepsilon)=N(\varepsilon_q)$. По определению фундаментальности $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon_q$. Но откуда у вас гарантия, что $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon<\varepsilon_q$, а не $\varepsilon \leqslant |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon_q$?

Ладно, там я перепутал. Надо брать меньшее рациональное, а не большее.

knizhnik в сообщении #1150055 писал(а):

но $N(\varepsilon)=N(\varepsilon_q)$

Кстати, тут или две разные $N$, или одна и равенство неверно, если брать меньшее, а не меньшее или равное рациональное.

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150062 писал(а):

VAL в сообщении #1150050 писал(а):

разбираться как советую я

Как советуете вы:

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Пусть у нас есть фундаментальная последовательность вещественных чисел, т.е. классов ФПРЧ.

Да, например простая последовательность $a_n=\frac {1}{n+1}$ тоже подойдет.

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Ис каждого класса выбираем одну ФПРЧ.

Проще говоря, к каждому числу из списка $\frac {1}{1},\frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \ldots $ приписываем рациональную последовательность, которая сходится к этому числу. Практически это осуществить несложно. Для $\frac {1}{1}$ это может быть последовательность $x_n=\frac {1}{1}$, для $\frac {1}{2}$ это $y_n=\frac {1}{2}$, и так далее...

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Из первой последовательности берем первый элемент, из второй - второй и т.д.

В результате этого процесса получается $\frac {1}{1},\frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \ldots $, то есть изначальная наша последовательность $a_n$.

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

На основании фундаментальности исходных последовательностей доказываем, что полученная тоже фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число.

В этом примере можно не сомневаться. Поскольку получилось так, что она совпала с $a_n$, которая изначально фундаментальна.

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Оно-то и будет искомым пределом.

Мы не ищем предел. Вы не объяснили переход от фундаментальности к сходимости.

Вы взяли очень частный случай. Ваша последовательность изначально состоит из рациональных чисел. Разумеется, для нее тоже проходит общий метод. Но в данном случае все проще. Наша фундаментальная последовательность определяет некий класс ФПРЧ, т.е. вещественное число. Оно-то и есть предел исходной последовательности.

[knizhnik]

VAL в сообщении #1150066 писал(а):

некий класс ФПРЧ, т.е. вещественное число. Оно-то и есть предел исходной последовательности.

Я снова не понял, как вы перешли к пределу. Понятно, что каждая рациональная последовательность входит в определенный класс. В том числе входит в класс и последовательность, построенная таким способом. Класс является вещественным числом, в приведенном случае нулем. Но какие есть основания считать это число пределом изначальной последовательности? То, что вы получили предел необходимо еще доказать, а значит вернуться эпсилон-определению предела.

arseniiv в сообщении #1150064 писал(а):

Интересное. Давайте мы в эту тему все нужные вам определения из учебников перепишем.

Нет, сходимости определение именно такое. Я уже переписал его.

[Karan]

knizhnik в сообщении #1150067 писал(а):

Нет, сходимости определение именно такое. Я уже переписал его.

Дайте ссылку, откуда. Обычно дается другое определение сходимости.

knizhnik в сообщении #1150067 писал(а):

Я снова не понял, как вы перешли к пределу. Понятно, что каждая рациональная последовательность входит в определенный класс. В том числе входит в класс и последовательность, построенная таким способом. Класс является вещественным числом, в приведенном случае нулем. Но какие есть основания считать это число пределом изначальной последовательности? То, что вы получили предел необходимо еще доказать, а значит вернуться эпсилон-определению предела.

Да, нужно. Это простая задача, и Вы можете решить ее самостоятельно. Если не сможете - приведите в новом сообщении Ваши попытки решения и объясните, какие у Вас трудности, как при создании новой темы.

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150067 писал(а):

VAL в сообщении #1150066 писал(а):

некий класс ФПРЧ, т.е. вещественное число. Оно-то и есть предел исходной последовательности.

Я снова не понял, как вы перешли к пределу. Понятно, что каждая рациональная последовательность входит в определенный класс. В том числе входит в класс и последовательность, построенная таким способом. Класс является вещественным числом, в приведенном случае нулем. Но какие есть основания считать это число пределом изначальной последовательности? То, что вы получили предел необходимо еще доказать, а значит вернуться эпсилон-определению предела.

Совершенно верно. Останется применить определение предела. Но при этом надо воспользоваться правильным определением, а не упорствовать в своем заблуждении.

[Someone]

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

knizhnik в сообщении #1150027 писал(а):

Я не знаю, что такое стандартный диагональный метод.

Пусть у нас есть фундаментальная последовательность вещественных чисел, т.е. классов ФПРЧ.
Ис каждого класса выбираем одну ФПРЧ. Из первой последовательности берем первый элемент, из второй - второй и т.д. На основании фундаментальности исходных последовательностей доказываем, что полученная тоже фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число. Оно-то и будет искомым пределом.

Ой!!!
Так не получится. Может получиться не фундаментальная последовательность.
И я не уловил, это где-нибудь в данной теме исправляется или нет.

[VAL]

Someone в сообщении #1150100 писал(а):

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

knizhnik в сообщении #1150027 писал(а):

Я не знаю, что такое стандартный диагональный метод.

Пусть у нас есть фундаментальная последовательность вещественных чисел, т.е. классов ФПРЧ.
Ис каждого класса выбираем одну ФПРЧ. Из первой последовательности берем первый элемент, из второй - второй и т.д. На основании фундаментальности исходных последовательностей доказываем, что полученная тоже фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число. Оно-то и будет искомым пределом.

Ой!!!
Так не получится. Может получиться не фундаментальная последовательность.
И я не уловил, это где-нибудь в данной теме исправляется или нет.

И в самом деле, ой!!!
Легковесно подошел
Нужно выбирать "не совсем по диагонали"

[Lia]

Настоятельная просьба чуть ли не ко всем избегать избыточного цитирования.

[knizhnik]

Karan в сообщении #1150069 писал(а):

Обычно дается другое определение сходимости.

Да, дается другое, через существование предела.

arseniiv в сообщении #1150064 писал(а):

Надо брать меньшее рациональное, а не большее.

Да, спасибо, надо меньшее. Почему-то я сразу не догадался. Тут все просто оказалось.

VAL в сообщении #1150112 писал(а):

Нужно выбирать "не совсем по диагонали"

Как же выбирать?

[knizhnik]

Karan в сообщении #1150069 писал(а):

Это простая задача, и Вы можете решить ее самостоятельно. Если не сможете - приведите в новом сообщении Ваши попытки решения и объясните, какие у Вас трудности, как при создании новой темы.

На мой взгляд, это трудная задача. Сначала нужно доказать, что из фундаментальности вещественной последовательности следует фундаментальность диагональной последовательности. После этого доказать, что класс диагональной последовательности является пределом исходной. Хотелось бы сначала разобраться, как правильно строить диагональную последовательность.