Задача по теории вероятностей

[blueboar2]

Задача следующая: На тренировке стрелок стреляет по 10 мишеням. На каждую мишень стрелку дается не более двух попыток. Известно, что вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,7 (независимо от предыдущих попыток). Еще известно, что стрелок истратил 17 патронов. Найдите математическое ожидание числа пораженных мишеней.

Что смог сделать я:
1) Нашел что стрелок попал по трем мишеням с первого раза, и либо не попал, либо попал с двух раз по семи мишеням.
2) Нашел вероятность того что стрелок попадет с первого раза (0,7), со второго (0,21), и вообще не попадет (0,09).
3) Кроме того, я знаю как находить математическую вероятность дискретной величины - сумма произведений количества пораженных мишеней на вероятность того, что число пораженных мишеней будет именно такое. Но как найти вероятность я не знаю.

[mihaild]

Тут лучше считать ожидание как сумму по всем мишеням (вероятность того, что стрелок попал в данную мишень).

Мы знаем, что $3$ мишени из $10$ поражены первым выстрелом, по остальным $7$ был один выстрел с неизвестным результатом (и один промах, но он не влияет).
Какова апостериорная вероятность того, что данная мишень поражена первым выстрелом? Какова вероятность того, что она поражена вторым выстрелом при условии, что первым был промах? Как из этого получить вероятность того, что она была поражена вторым выстрелом?

[blueboar2]

Берем одну мишень.

Какова апостериорная вероятность того, что данная мишень поражена первым выстрелом? - 0,3, так как поражены были 3 из 10?
Какова вероятность того, что она поражена вторым выстрелом при условии, что первым был промах? - 0,7, дано по условию?
Как из этого получить вероятность того, что она была поражена вторым выстрелом? - не знаю.


И еще. Пока ехал в автобусе подумалось вот что.
1) Вероятность не зависит от того, в какие мишени попали с первого раза, и можно решить, что это, например первая, вторая и третья (этого я не могу доказать, но интуитивно вроде так).
2) В остальные мишени первый раз промахнулись, и это можно не учитывать. А дальше мы имеем биномиальное распределение с вероятностями $p=0,7$; $q=0,3$, и 7 мишенями, и по формуле Бернулли можем найти вероятности попадания вторым выстрелом в 0;1;2;3;4;5;6;7 мишеней.

Только вот правильно ли предположение 1?

[mihaild]

blueboar2 в сообщении #1149407 писал(а):

Как из этого получить вероятность того, что она была поражена вторым выстрелом? - не знаю.

Эта вероятность выражается через первые две (вероятность поражения первым и вероятность поражения вторым при условии промаха первого).

blueboar2 в сообщении #1149407 писал(а):

1) Вероятность не зависит от того, в какие мишени попали с первого раза, и можно решить, что это, например первая, вторая и третья (этого я не могу доказать, но интуитивно вроде так).

Можно. Например, можно разбить наше ожидание на два слагаемых - мишени, по которым попали первым выстрелом, и остальные.

blueboar2 в сообщении #1149407 писал(а):

А дальше мы имеем биномиальное распределение с вероятностями p=0,7; q=0,3, и 7 мишенями, и по формуле Бернулли можем найти вероятности попадания вторым выстрелом в 0;1;2;3;4;5;6;7 мишеней.

Да, так можно, только считать замучаетесь. Мат. ожидание биномиального распределение (а тут будет именно оно) находится гораздо проще.

[blueboar2]

Пусть событие A - первым выстрелом не попали - 0,7
Пусть событие B - вторым выстрелом попали - 0,7

Тогда $P(AB) = P(B|A)\cdot{P(A)}$
$P(AB)$ - вероятность того, что первым выстрелом не попали, а вторым попали
$P(B|A)$ - вероятность того, что вторым выстрелом попали при условии что не попали первым
$P(A)$ - вероятность того, что первым выстрелом не попали

По определению условной вероятности $P(AB) = P(A)\cdot{P(B|A)}=0,7\cdot0,7=0,49$?

[provincialka]

blueboar2 в сообщении #1149420 писал(а):

Пусть событие A - первым выстрелом не попали - 0,7

Почему $0,7$? Не попали же! И вообще,вы это уже считали:

blueboar2 в сообщении #1149377 писал(а):

2) Нашел вероятность того что стрелок попадет с первого раза (0,7), со второго (0,21), и вообще не попадет (0,09).

А вот почему вы не слушаете советов mihaild про сумму случайных величин?

[mihaild]

Да, так. И теперь можно, с учетом того, что события "попали вторым выстрелом" и "попали первым выстрелом" несовместны, найти вероятность события "попали по данной мишени".
А зная вероятность попадания по одной мишени, найти ожидание числа попаданий совсем просто.

provincialka в сообщении #1149423 писал(а):

Почему $0,7$? Не попали же!

Потому что тут нужна апостериорная вероятность попадания первым выстрелом.

[blueboar2]

Способ 1:
Вероятность того, что попали по конкретной мишени равна сумме вероятностей что попали первым выстрелом и что попали вторым выстрелом.
То есть $P = 0,3 + 0,49 = 0,79$
Тогда математическая вероятность равна $10\cdot0,79=7,9$

Проверяем по биномиальному распределению:
$\frac{7!}{7!\cdot0!}\cdot0,7^0\cdot0,3^7=0,0002187$ - поражено 0 мишеней
$\frac{7!}{6!\cdot1!}\cdot0,7^1\cdot0,3^6=0,0035721$ - поражена 1 мишень
$\frac{7!}{5!\cdot2!}\cdot0,7^2\cdot0,3^5=0,0250047$ - поражено 2 мишени
$\frac{7!}{4!\cdot3!}\cdot0,7^3\cdot0,3^4=0,0972405$ - поражено 3 мишени
$\frac{7!}{3!\cdot4!}\cdot0,7^4\cdot0,3^3=0,2268945$ - поражено 4 мишени
$\frac{7!}{2!\cdot5!}\cdot0,7^5\cdot0,3^2=0,3176523$ - поражено 5 мишеней
$\frac{7!}{1!\cdot6!}\cdot0,7^6\cdot0,3^1=0,2470629$ - поражено 6 мишеней
$\frac{7!}{0!\cdot7!}\cdot0,7^7\cdot0,3^0=0,0823543$ - поражено 7 мишеней
Итого 1.

$0,0002187\cdot0 = 0$
$0,0035721\cdot1 = 0,0035721$
$0,0250047\cdot2 = 0,0500094$
$0,0972405\cdot3 = 0,2917215$
$0,2268945\cdot4 = 0,9075780$
$0,3176523\cdot5 = 1,5882615$
$0,2470629\cdot6 = 1,4823774$
$0,0823543\cdot7 = 0,5764801$
Сумма равна $4,9000000$
Плюс три мишени которые точно поражены - $7,9000000$

[provincialka]

blueboar2 в сообщении #1149425 писал(а):

Тогда математическая вероятность равна

Вы, наверное, имеет в виду "математическое ожидание"? Как-то не сразу дажепонятно, о чем речь

[mihaild]

(Оффтоп)

И не лень же столько расписывать. Надеюсь, хоть не руками считали?)

[blueboar2]

provincialka в сообщении #1149423 писал(а):

blueboar2 в сообщении #1149420 писал(а):

Пусть событие A - первым выстрелом не попали - 0,7

Почему $0,7$? Не попали же!

То что я считал (вероятность не попасть 0,3) - это когда стрелок стоит и стреляет в мишень. 30% что не попадет. (Мы еще не знаем, попадет или нет).

А то что я сейчас написал (вероятность не попасть 0,7) - это уже после опыта. Стрелок отстрелялся, мы глядим, он попал только в 3 из 10 (с 1-го выстрела). Значит попадет он с первого раза с вероятностью 0,3. А не попадет - 0,7.

-- 05.09.2016, 22:47 --

mihaild в сообщении #1149428 писал(а):

(Оффтоп)

И не лень же столько расписывать. Надеюсь, хоть не руками считали?)

Руками :))

-- 05.09.2016, 22:47 --

provincialka в сообщении #1149426 писал(а):

blueboar2 в сообщении #1149425 писал(а):

Тогда математическая вероятность равна

Вы, наверное, имеет в виду "математическое ожидание"? Как-то не сразу дажепонятно, о чем речь

Да. Ошибся.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.