О шарах в метрических пространствах

[alcoholist]

Evgenii2012 в сообщении #1147223 писал(а):

Мне нравится примерSlav-27, очень похоже на правду.

Там пространство связно, но не локально связно, вроде бы

[ivvan]

Evgenii2012 в сообщении #1147238 писал(а):

точка начала у всех лучей должна быть разной ? ( и эти точки "начал" стремятся к заданной точке ?)

Забыл добавить, что малый угол фиксирован, так что если начала совпадают, то совпадают сами лучи. (Да, стремятся.)

Evgenii2012 в сообщении #1147238 писал(а):

Заданная фиксированная точка, а также прямая, на которой она расположена, должна принадлежать рассматриваемому метрическому пространству или нет ?

Это была конструкция самого пространства, метрика индуцируется из евклидовой плоскости.

-- 29.08.2016, 00:38 --

alcoholist в сообщении #1147239 писал(а):

Там пространство связно, но не локально связно, вроде бы

Почему не локально?

[Evgenii2012]

Да, ещё раз спасибо за полезные комментарии. Давайте поставим точку в примере Slav-27 . У меня тоже такое ощущение, что построенное в этом примере пространство всё же локально связно. Во всяком случае, такого явного противоречия локальной связности пока не вижу. Если у кого-то иное мнение - будет весьма интересно узнать (я могу чего-то и не заметить, естественно).

[ivvan]

Wikipedia писал(а):

We say that X is locally connected at x if for every open set V containing x there exists a connected, open set U with x \in U \sub V .

Wikipedia писал(а):

By contrast, we say that X is weakly locally connected at x (or connected im kleinen at x) if for every open set V containing x there exists a connected subset N of V such that x lies in the interior of N.

[Otta]

alcoholist в сообщении #1147230 писал(а):

поиски несвязных шаров

alcoholist в сообщении #1147216 писал(а):

топология метрическая

alcoholist в сообщении #1147230 писал(а):

просто напомнил товарищ... Извиняться тут не за что.

alcoholist
А ведь я не придиралась. Убей меня бог лаптем, я не понимаю (особенно в свете Ваших разъяснений), как в метрической топологии шар в метрическом пространстве может быть несвязным. Поэтому и спросила у ТС разъяснений - раз имелась в виду не метрическая (явно) топология, то какая? и как должен был звучать вопрос?
Всякое ли локально связное топологическое пр-во, наделенное метрикой, обладает искомым свойством?
Существует ли такое пр-во?
Всякое ли метрическом пространство (с любой метрикой) можно наделить топологией так, что в ней оно будет локально связным и, кроме того будет выполняться нужное свойство?
Существует ли такое метрическое пространство?
Понимать можно как хошь, вот я и не поняла, вот и спросила.

(Оффтоп)

Все, если это бред, то простите меня - потому что сплю. Но не написать не могу, завтра будет уже не до этого. Замотаюсь, забуду.

[Grabovskiy]

Рассмотрите какое-либо ультраметрическое пространство (поле $p$-адических чисел, например). В нем нет нетривиальных связных подмножеств.

[alcoholist]

Otta в сообщении #1147254 писал(а):

как в метрической топологии шар в метрическом пространстве может быть несвязным

Рассмотрите множество целых чисел с естественной метрикой. Любой шар радиуса $>1$ несвязен.

-- Пн авг 29, 2016 06:14:56 --

Otta в сообщении #1147254 писал(а):

Поэтому и спросила у ТС разъяснений - раз имелась в виду не метрическая (явно) топология

именно метрическая, иначе вопрос абсолютно бессмысленный

-- Пн авг 29, 2016 06:46:27 --

Otta в сообщении #1147220 писал(а):

Это эквивалентные определения.

Нет. См. приведенные ivvan определения из вики. У Энгелькинга, которого цитировал Anton_Peplov, как раз раз определена weak connectedness (я бы по аналогии с полулокальной односвязностью назвал это свойство полулокальной связностью).
Итого, переформулирую вопрос ТС:

Цитата:

Пусть метрическое пространство $X$ обладает следующим свойством: для любой точки $x\in X$ и любого открытого шара $B_r(x)\subset X$ радиуса $r>0$ с центром в точке $x$ найдется связное открытое множество $V(x,r)\subset B_r(x)$, содержащее точку $x$.
Верно ли, что в качестве $V(r,x)$ всегда можно взять некоторый открытый шар $B_{\varepsilon_0}(x)$?

Иными словами
Существует ли метрическое пространство $X$, обладающее определенным выше свойством, в котором найдется точка $x$, что все открытые шары $B_r(x)$ несвязны при $r<r_0$ для некоторого $r_0>0$?

[alcoholist]

Искомый пример привелSlav-27.
Пусть $E_n=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:n^2x^2+4n^2y^2=4\right\}$, $n\ge 1$ и $E_0=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=0\right\}$.
Метрическое пространство $X=\bigcup\limits_{n\ge 0}E_n\subset\mathbb{R}^2$ (линейно) связно. Очевидно, что в случае $(x,y)\ne (0,0)$ шар достаточно малого (спасибо ivvan) радиуса $r<\sqrt{x^2+y^2}$ с центром в точке $(x,y)\in X$ (линейно) связен.
Рассмотрим точку $(0,0)\in X$ и открытый шар $B_r$ с центром в этой точке. Если $r\le 2$, то такой шар несвязен. С другой стороны, любой такой шар содержит (линейно) связное открытое множество

$$E_0\cup\bigcup\limits_{n>\frac{2}{r}}E_n.$$

[Otta]

alcoholist
Спасибо большое за Ваш ответ, завтра постараюсь переварить, - нынче я не шмогу. :(

[ivvan]

alcoholist в сообщении #1147270 писал(а):

Очевидно, что в случае $(x,y)\ne (0,0)$ шар радиуса $r<\sqrt{x^2+y^2}$ с центром в точке $(x,y)\in X$ (линейно) связен.

Мне это не очевидно, можно пояснить? (Хотя это ни на что не влияет, конечно.)

(Оффтоп)

Почему-то считал, что несвязными должны быть шары, содержащие $x$ необязательно в качестве своего центра, поэтому сделал модификацию примера с учётом этого.

[alcoholist]

ivvan в сообщении #1147439 писал(а):

Мне это не очевидно, можно пояснить?

да, конечно, тут я ошибся... Надо было написать $\forall (x,y)\in X\setminus\{(0,0)\}\exists r>0$, что шар $B_r(x,y)\subset X$ является либо дугой одного из эллипсов (при $y\ne 0$), либо его центр принадлежит $E_0$, то есть (линейно) связен.