О шарах в метрических пространствах

[Evgenii2012]

Дорогие коллеги, вот ещё интересная задача, которую я хотел бы обсудить с Вами. Напомню, что метрическое пространство $X$ называют локально связным в точке $x\in X$, если для любой окрестности $U$ точки $x$ найдётся окрестность $V\subset U,$ содержащая $x,$ такая, что $V$ -- связно. Вопрос: можно ли привести пример локально связного пространства, в котором в качестве $V$ нельзя взять некоторый шар $B(x, \varepsilon_0)\subset U$ ? Другими словами, существуют ли локально связные метрические пространства, в которых сколь угодно малые шары несвязны ?

[alcoholist]

в котором найдется точка $x$ и число $a>0$, что все шары радиуса, меньшего $a$, несвязны

[Evgenii2012]

Да, вроде бы так (само пространство при этом предполагается локально связным, иначе примеры очень просто строятся)

[Slav-27]

Хочется чё-нить такое придумать: Возьмём кучу вложенных концентрических эллипсов, чтобы они сгущались к точке, и чтобы большие оси у всех были на одной и той же прямой. И проведём эту самую прямую через большие оси.

[Otta]

Evgenii2012 в сообщении #1147164 писал(а):

Напомню, что метрическое пространство $X$ называют локально связным в точке $x\in X$, если для любой окрестности $U$ точки $x$ найдётся окрестность $V\subset U,$ содержащая $x,$ такая, что $V$ -- связно.

Звиняйте, это стандартное определение для топологического пространства. А дальше интересно:

Evgenii2012 в сообщении #1147164 писал(а):

Вопрос: можно ли привести пример локально связного пространства, в котором в качестве $V$ нельзя взять некоторый шар $B(x, \varepsilon_0)\subset U$ ?

в связи с чем вопрос? На Вашем метрическом пространстве есть какая-то топология, отличная от порожденной метрикой?

[alcoholist]

Otta
топология метрическая

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1147213 писал(а):

это стандартное определение для топологического пространства

Не уверен, что стандартное. Открываем Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986 на с. 547 и читаем:
Пространство $X$ называется локально связным, если для любой точки $x$ и любой ее окрестности $U$ найдется связное $C \subset U$ такое, что $x \in int \ C$.

Т.е. речь идет не о том, что найдется связная окрестность, а о том, что найдется окрестность, являющаяся внутренностью связного множества.

[Otta]

Anton_Peplov в сообщении #1147217 писал(а):

Т.е. речь идет не о том, что найдется связная окрестность, а о том, что найдется окрестность, являющаяся внутренностью связного множества.

Это эквивалентные определения.

alcoholist в сообщении #1147216 писал(а):

топология метрическая

Если топология метрическая, откуда взялись поиски шара?

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, я пользуюсь определением Куратовского: Куратовский, Топология, том 2, глава 6, параграф 49, стр. 232. Именно, пространство локально связно, если каждая окрестность точки имеет связную её подокрестность. Приведенное мне в предыдущем сообщении определение Эльгенкинга, очевидно, эквивалентно данному: если $C$ -- связно и $x\in {\rm Int}\, C,$ то по определению, это и означает, что $C$ -- связная окрестность точки $x$ ! Окрестностью точки называется множество, содержащее эту точку как внутреннюю. Что касается вопроса Otta, объясняю: связная окрестность на метрическом пространстве не обязана быть шаром. Может ли точка иметь сколь угодно малые связные окрестности, и, при этом, сколь угодно малые несвязные шары ? Мне нравится примерSlav-27, очень похоже на правду. Однако, как доказать, что Вы точно не получите связных малых шаров в этом примере ?

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1147220 писал(а):

Это эквивалентные определения.

Что-то доказать не могу. В одну сторону импликация тривиальная, т.к. окрестность совпадает со своей внутренностью. А в другую не получается у меня.

[Evgenii2012]

Дорогой Anton_Peplov
это следует из определения окрестности: окрестностью точки мы и называем множество $C$ с таким свойством

[Anton_Peplov]

Evgenii2012 в сообщении #1147223 писал(а):

Окрестностью точки называется множество, содержащее эту точку как внутреннюю.

А! У Энгелькинга и Колмогорова-Фомина, по которому я изучал самые азы, окрестность $x$ - это открытое множество, содержащее $x$, и до сего момента я считал эту терминологию единственной. Но Куратовского действительно так, как Вы сказали. Виро тоже понимает под окрестностью открытое множество, но оговаривается, что существует и такая терминология, как у Куратовского.
Черт бы побрал этот терминологический разнобой, из-за которого, как идиот, пытаешься понять непонимаемое и доказать недоказуемое.

[alcoholist]

Otta в сообщении #1147220 писал(а):

Если топология метрическая, откуда взялись поиски шара?

поиски несвязных шаров

-- Вс авг 28, 2016 23:57:45 --

Otta в сообщении #1147213 писал(а):

Звиняйте, это

просто напомнил товарищ... Извиняться тут не за что. Не станет же он писать, что "м.п. называется л.с., если оно л.с. как т.п." и дальше напоминать определение л.с.т.п.

[ivvan]

Evgenii2012 в сообщении #1147223 писал(а):

Однако, как доказать, что Вы точно не получите связных малых шаров в этом примере ?

Возможно, проще проанализировать систему лучей с началами, лежащими на луче с началом в рассматриваемой точке и стремящимися к этой точке; лучи образуют малый угол с лучом с началом в точке и направлены в сторону точки.

[Evgenii2012]

Спасибо - надо подумать. Уточните, пожалуйста: 1) точка начала у всех лучей должна быть разной ? ( и эти точки "начал" стремятся к заданной точке ?) 2) Заданная фиксированная точка, а также прямая, на которой она расположена, должна принадлежать рассматриваемому метрическому пространству или нет ?