Найдите ошибку

[rightways]

Вот мое решение одной задачи, там есть ошибка но я не могу ее найти,
Итак, задача: Решите уравнение

$$\sqrt{2sin2x}+2sinx=0$$

Решение:
Так как $\sqrt{2sin2x}\ge 0$ и $2sin2x=4sinxcosx\ge 0$ тогда $-sinx\ge 0$ и $-cosx\ge 0$. Значит

$$\sqrt{2sin2x}+2sinx=0=2\sqrt{-sinx}(\sqrt{-cosx}+\sqrt{-sinx})$$

Вторая скобка не может равняться нулю значит $sinx=0$,

но в ответе есть еще один ответ...

[gris]

Как же отрицательный синус у Вас преобразился в положительное произведение двух корней?
Если всё сделать корректно, то будет ещё один корень в серединке третьей четверти.
Правда, если это для экзамена, то я не рискнул бы устраивать выкладки с корнями, а сделал бы замену переменной, переведя всё это дело в первую четверть.

[Lia]

rightways
Набирайте логарифмоподобные функции (синусы, косинусы и проч.) со слешем впереди.
\sin x
Будет гораздо легче восприниматься.

[alcoholist]

rightways в сообщении #1146423 писал(а):

Значит

$$\sqrt{2sin2x}+2sinx=0=2\sqrt{-sinx}(\sqrt{-cosx}+\sqrt{-sinx})$$

Тут ошибка. Должно быть $\sqrt{2\sin 2x}+2\sin x=0=2\sqrt{-\sin x}(\sqrt{-\cos x}-\sqrt{-\sin x})$

[RIP]

rightways в сообщении #1146423 писал(а):

тогда $-\sin x\geqslant0$ и $-\cos x\geqslant0$

Это не совсем верно: если синус равен $0$, то косинус может быть любого знака.

[Someone]

Мне непонятно, зачем возиться с этими корнями? Вы же заметили, что должно выполняться неравенство $\sin x\leqslant 0$. Далее избавляетесь от радикала возведением в квадрат и получаете легко решаемое уравнение. Потом надо отобрать корни.