Детективный подход, как способ отыскания доказательства ВТФ

cmpamer · 10/08/16 102

Сегодня 17 августа - День Рождения Пьера де Ферма. Это подходящий повод обратиться к его наследию. Впрочем, Ферма не самый пригожий наследодатель (как и почтальон Печкин - не самый сговорчивый почтальон).
Одарив человечество теоремой о невозможности разложения объёма n-мерного равностороннего целочисленного параллелепипеда на сумму объёмов двух других n-мерных равносторонних целочисленных параллелепипедов, кроме как в обычной плоскости - самого доказательства Ферма человечеству не представил; но заверил, что оно у него имеется и представляется просто чудесным. Человечество на протяжении веков пыталось принять сие наследство, но ничего у него из этого не вышло. Даже попытки найти не совсем чудесные доказательства ни к чему доброму не приводили. В итоге, человечество, дабы избавиться от диссонанса, постановило считать, что никого наследства и не было вовсе, подвергнув диффамации непутёвого «наследодателя». На всех, кто с этим постановлением не согласился, были навешены ярлыки с пометкой «ферматист», с неприкрытым намёком на наличие у обладателя сего ярлыка психической патологии (хотя, надо признать, таковых и впрямь хватало).
Между тем, указанное «постановление» нельзя считать в полной мере обоснованным. Аргумент о том, что раз в течение длительного времени огромное количество людей так и не смогли найти доказательство (элементарное), то его и не было - это, конечно, весомый аргумент. Но не более того. Нет ответа на главный вопрос: «ЧТО ЭТО БЫЛО?» применительно к знаменитому «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но….». Есть высказывания, мнения, «лепет-шёпот», но нет ОТВЕТА. Для нахождения ответа на указанный вопрос необходимо проводить исследования, сродни детективному расследованию. А почему такого исследования так никто даже и не пытался провести - это уже другой вопрос.
Основной смыл настоящей заметки можно выразить следующим тезисом: выяснение истинной причины появления известной записи на полях «Арифметики» Диофанта - это самый эффективный способ отыскания чудесного доказательства ВТФ, если таковое существует. Другими словами - чтобы найти доказательство ВТФ надо, прежде всего, напрочь отказаться от намерения её доказать; после чего, вооружившись лупой и курительной трубкой, приступить к расследованию обстоятельств и причин появления загадочной надписи. Парадокс? Да. Но лишь по форме, а не по сути. Мы же все когда-то увлекались детективным чтением и знаем, что порой какой-нибудь смятый окурок может «рассказать» больше, чем самый разговорчивый свидетель. Что-то подобное обязательно должно произойти и в расследовании «Дела Ферма». Не верите? А вы не торопитесь не верить!
Прежде всего, давайте пройдёмся по вышеупомянутому «весомому аргументу». Его действительно сложно критиковать (хотя ниже на простом примере будет показано, что у человечества вполне могут проявляться симптомы поголовной безалаберности), но и принять за непреложную истину никак нельзя. В самом деле, если принять за истину, что у Ферма не было доказательства, то как в этом случае отвечать на вопрос - «ЧТО ЭТО БЫЛО?». Первый вариант ответа - Ферма банально соврал. Но тогда закономерный криминалистический (ведь мы же ведём расследование) вопрос - каков мотив? Бьюсь об заклад - никто не сможет дать (в качестве версии, разумеется) хоть сколько-нибудь убедительный ответ. Нет мотива - нет ипреступл поступка. Второй (и последний) вариант - у Ферма было ошибочное доказательство. На первый взгляд - годная версия. Но, простите, за много веков не было найдено не только корректное доказательство ВТФ, но не было найдено то, что с большой степенью уверенности можно было бы выдать за ложное доказательство, на которое купился Ферма. Т.е. ложных доказательств было предостаточно, но ложного доказательства «от Ферма» никто так и не нашёл. Но если не найдено ни доказательство, ни ложное доказательство, то почему утверждается об отсутствии первого и возможном наличии второго? Так что - опять к «варианту 1»? Соврал таки Ферма? Если есть желающие пойти по кругу, то они смело могут начинать читать этот абзац с начала.
Говоря о расследовании, о детективном подходе - я никакой иносказательностью не занимаюсь. Именно полноценное расследование, которое изначально предполагает сбор информации (впрочем, не только изначально - информация (любая) собирается на протяжении всего расследования) и отработку версий; есть верное средство для раскрытия Великой Тайны Ферма, которая в аббревиатурном исполнении имеет ту же самую запись - «ВТФ». Но чтобы отрабатывать версию - её необходимо выдвинуть. Свою версию я сейчас изложу, но прежде хотел бы обратиться к уважаемым форумчанам с призывом не стесняться излагать (и отстаивать) в этой теме свои версии, если таковые у них имеются - тема для того (в том числе) и создана. Но версий (в отличие от информации) много не бывает. Поэтому главным предназначением этой темы является сбор информации (любой!), как относящейся к самому Ферма, так и к его «ВТФ». Так что, если у кого что-то есть - не жадничайте, выкладывайте. Моя версия основана на минимуме информации, которая практически в полном объёме содержится, например, в Википедии. Она такова: у Ферма было доказательство (корректное) «ВТФ». Только это доказательство не являлось главной ценностью, поскольку представляло собой простое следствие (возможно - «наколеночное») из того ЗНАНИЯ, которым располагал (и безумно дорожил) Ферма. Однако представить доказательство «ВТФ» и скрыть существо этого ЗНАНИЯ было невозможно. Слышу вопрос - на чём основана эта версия? Отвечу предельно кратко - на двух известных всем обстоятельствах: 1. Ферма был сыном торговца; 2. Ферма был полиглотом. Излагать дедуктивный метод, посредством которого эти, казалось бы, не связанные между собой, обстоятельства определяют существо изложенной выше версии, я в стартовом топике не стану - если появится в том необходимость, то об этом будет сказано ниже.
В порядке стимулирования форумчан к участию в предполагаемом расследовании я, завершая настоящую заметку, привожу пример (на основе наследия Ферма) того, как близоруко это самое человечество, которое вынесло в отношении Ферма столь нелицеприятный вердикт. И сделано это будет самым простейшим криминалистическим методом - методом сопоставления. Речь пойдёт уже совсем не о ВТФ, что, впрочем, никаким «оффтопом» являться не будет (для следствия лишним ничего не бывает). А пойдёт она - речь - о т.н. «Простых числах Ферма», точнее - о т.н. «Гипотезе Ферма» о том, что все эти числа - простые. Что такое «Простое число Ферма» я, дабы не оскорблять форумчан подозрением в невежестве, давать пояснений не буду. Перейду сразу к делу. А суть «дела» в том, что никакой ГИПОТЕЗЫ Ферма НЕ БЫЛО! Т.е. заявление «гипотезы» со стороны Ферма было, но лично он сам прекрасно знал, что «гипотеза» неверна. Опять не верите? Давайте тогда, как добропорядочные граждане, откроем ту же самую Википедию, а именно - статью про Ферма. Статья довольно объёмная (что понятно). В одном из многочисленных абзацев мы находим следующее: «Обнаружив, что число 2^{2^k}+1 простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии [всего-то через сто лет с хвостиком

] показал, что при k=5 имеется делитель 641.». А ещё через два абзаца автор этой же статьи обескураживает нас следующей информацией: «Однажды Мерсенн попросил Ферма выяснить, является ли многозначное число 100 895 598 169 простым. Ферма не замедлил сообщить, что 100895598169 = 898423 ⋅ 112303; он не пояснил, как нашёл эти делители». А теперь сопоставляем эти два факта и…. Анекдот выходит - число, превышающее сто миллиардов, Ферма не напрягаясь разлагает на совсем даже нетривиальные множители (меньший из которых в полторы тысячи раз больше, чем «641»), а число, чуть более 4-х миллиардов он не смог проверить на простоту. И в самом деле - смешно! Думаю, тут даже не о чем спорить - Ферма и сам знал факторизацию числа 4294967297. Но слышу вопрос - зачем он тогда «загнул» про простоту этих чисел? И это - правильный вопрос! На него только надо правильно и ответить. Самый правильный ответ мог бы дать сам Ферма, а мы лишь - выдвинуть предположения (версии). Лично у меня есть как минимум три версии этого поступка Ферма. Но о них - о версиях - потом, ниже (коли будет интерес к расследованию). Замечу лишь, что изложение версий форумчан и на сей счёт - это в контексте настоящей темы. А посему - приступаем к формированию «следственной группы». Работать есть на чем.
В завершение - поздравляю всех со знаменательным днём!

ishhan · 21/11/10 546

Хорошо известно, что для доказательства ВТФ достаточно рассмотреть:
1) все простые показатели степени $p>2$
2) чётный показатель $p=4$ .
Чудесное доказательство относится к первому разделу.
Моя версия чудесного доказательства связана с тождеством:

$(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)$

Где $W^{p-3}(x,y,-z)$ -целочисленная симметрическая форма степени $p-3$
Это тождество мало изучено и практически не упоминается в литературе по ВТФ.
Я открыл его самостоятельно давным давно.
Когда я показывал его М.М. Постникову (известному популяризатору ВТФ в СССР сотруднику "стекловки") то у него глаза были на лбу)))
Это тождество позволяет вывернуть уравнение Ферма "наизнанку" и записать его как:

$(x+y-z)^p=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)$

Правая часть этого уравнения имеет такой алгебраический вид ,что при замене любого из переменных на сумму трёх с обратным $s=-x-y+z$ знаком алгебраический вид не меняется.

$F^p(x,y,-z)=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)=F^p(s,y,-z)=F^p(x,s,-z)=F^p(x,y,s)$

Левая часть уравнения "близнеца Ферма" таким свойством инвариантности не обладает.
Предполагаю, что именно в этом нарушении свойств инвариантности и скрыта чудесная изюминка которую раскусил Ферма.

пианист · 03/06/08 2320 МО

cmpamer в сообщении #1144857 писал(а):

А почему такого исследования так никто даже и не пытался провести - это уже другой вопрос

Проводили.

ananova · 15/12/05 754

Хорошая идея.
Я достаточно сильно верю в простую версию доказательства. (И даже, - в этом или следующем году, планирую поделиться собственной версией такого доказательства. Два года назад "сел на хвост" и, в перерывах между дел, добиваю. Мои редкие посты на форуме не связаны с этим доказательством).
Всем удачи!

cmpamer · 10/08/16 102

ishhan в сообщении #1144928 писал(а):

Предполагаю, что именно в этом нарушении свойств инвариантности и скрыта чудесная изюминка которую раскусил Ферма.

Уважаемый ishhan! Тут вот какое дело... В данной теме нахождение доказательства ВТФ (как корректного, так и ложного) не является главным её предметом. Главное в этой теме (задача максимум) - установить "следственным путём" наличие либо отсутствие у Ферма этого самого доказательства (опять же не важно - допустимого или софистического; главное - чудесного). Это, разумеется, не исключает предоставление лицами, решившими принять участие в этой теме, доказательств ВТФ, но только в качестве подтверждения своих версий (примерно так: "Вот вам доказательство: ....ля-ля-ля.... Оно, как видите, просто чудесное (хотя, быть может, и ложное). Значит, именно оно было у Ферма, и именно оно послужило поводом для оставления им известной записи на полях "Арифметики"").
Насколько я Вас понял - Вы утверждаете, что у Ферма было ложное (но всё равно - чудесное) доказательство ВТФ, суть которого Вы в своём комментарии в кратком виде изложили. "Доказательство" действительно вполне симпатичное - эдакий образчик лёгкой и непринуждённой софистики. Но именно в силу софистической легковесности, Ваша версия о том, что на неё мог попасться Ферма выглядит очень маловероятной. Как сказал бы тов. Сухов - эт-врятли.
Так что - ложный след получился. Но вам всё равно благодарность за участие в расследовании. Удачи!

-- 18.08.2016, 16:24 --

пианист в сообщении #1144936 писал(а):

cmpamer в сообщении #1144857 писал(а):

А почему такого исследования так никто даже и не пытался провести - это уже другой вопрос

Проводили.

Не поделитесь информацией?

ananova в сообщении #1144938 писал(а):

.....Я достаточно сильно верю в простую версию доказательства. ......

Если Ваша уверенность подкрепляется какой-то объективной сущностью, то надо бы оказать содействие следствию - поделиться соответствующей информацией (хотя бы в той мере, в которой это возможно на текущий момент).
Кстати - по поводу уверенностей. Я тут допустил небольшую промашку - забыл вставить опрос в основной заметке. А редактировать свои записи, как я понял, можно только в пределах ограниченного времени после публикации. Может, как-то удастся ублажить админов, чтоб разрешили вывесить опрос; а пока придётся проводить его "вручную".

Вопрос касается "Простых чисел Ферма":
Считаете ли вы, что Ферма искренне полагал, что "его" числа могут и в самом деле оказаться простыми поголовно, или он, выражаясь современным языком, банально троллил своей "гипотезой" математическую общественность 17-го века?
Вот конкретно Вы - ananova - имеете уверенность по этому вопросу? А Пианист что скажет?

lasta · 10/08/11 671

quote="cmpamer в сообщении #1144857"]Поэтому главным предназначением этой темы является сбор информации (любой!), как относящейся к самому Ферма, так и к его «ВТФ».[/quote]
Уважаемый cmpamer!
Замечательная идея.В письме к Каркави Ферма пишет, что не мог долго применить метод бесконечного спуска к утвердительным предложениям и находился в большом затруднении, когда было необходимо доказать, что простые числа вида $4k+1$ составляются из двух квадратов, -"но, наконец одно рассуждение, неоднократно повторенное, пролило недостающий свет и мой метод смог быть приложен к утвердительным предложениям. Для этого пришлось по необходимости прибавить к нему некоторые новые принципы"
Как видим Ферма не стремился раскрывать свои методы. Что за неоднократно повторенное рассуждение и какие новые принципы до сих пор остается загадкой. Эйлер доказал это утверждение , но не методом бесконечного спуска. Такое доказательство было найдено только в 1980 году.
И еще одна фраза Ферма:"...боюсь, что мне не хватит времени , для развития и полного проведения всех этих доказательств и методов во всяком случае это указание послужит ученым для того, чтобы они сами нашли то, что я не развиваю..."
Сам метод бесконечного спуска уже составляет сложность в применении.А здесь еще и озарение гения, которое долго не приходило. Можно представить насколько сложные логические ходы были просты в понимании Ферма. Поэтому уровень развития математики того времени не играл для Ферма особой роли.

ishhan · 21/11/10 546

cmpamer в сообщении #1144955 писал(а):

Так что - ложный след получился. Но вам всё равно благодарность за участие в расследовании. Удачи!

Спасибо большое, за благодарность, за участие 8-)

А Вы, имеете отношение к ВТФ, может быть у Вас есть свой подход?
Ферма оставил в своих дневниках доказательство для $p=4$
Вам, как сыщику и криминалисту, понятна разница в доказательстве ВТФ для показателей четных и нечетных?

shwedka · 11/12/05 3542 Швеция

cmpamer в сообщении #1144857 писал(а):

Сегодня 17 августа - День Рождения Пьера де Ферма.

Уже в первом предложении ошибка. 17 августа 1601 года родился НЕ ТОТ пьер Ферма, а его старший брат, умерший в младенчестве. 'Наш' же Пьер Ферма родился неизвестно когда точно, в 1607 или 1608 году.
Подробное есследование рождения П.Ферма вполне доступно и доказательства многочисленны и неоспоримы. Вплоть до сохранившейся надгробной плиты, где возраст П.Ф. указан.
попробуйте погуглить 'date of birth of Fermat' или почитайте мое изложение на mathhelpplanet.

Относительно же 'чудесного доказательства', полностью отсутствуют подтверждения аутентичности всем известной записи. Она впервые обнародована в издании 1670 г. экземпляра книги Диофанта, якобы принадлежавшего П.Ф., якобы, с его записями на полях. Издание было подготовлено его сыном, Самуэлем. Экземпляр, принадлежавший П.Ф. не сохранился, более того, нет ни одного очвидца этого экземпляра, кроме С.Ф. На мой взгляд, вполне возможно, что общеизвестная запись была внесена С.Ф. по своей инициативе, либо по совету анонимного математика, участвовшего в подготовке издания. Такое предположение защищает репутацию П.Ф.

На возможность подобной фальсификации может указывать и сравнение этой записи с другими записями ПФ в этом томе. Имеются замечания ПФ, раз в пять превышающие по размеру знаменитую запись, тем не менее, для них поля не оказались слишком узкими.

Желающие мне возразить, попробуйте сами оценить достоверность предположения о том , что запись сделана ПФ.

cmpamer · 10/08/16 102

lasta в сообщении #1144973 писал(а):

Поэтому главным предназначением этой темы является сбор информации (любой!), как относящейся к самому Ферма, так и к его «ВТФ».
........
Замечательная идея.

Может и замечательная, но чего она стоит без её реализации? То есть - без самой информации.
Вот Вы дали "инфу" про письмо Ферма к Каркави - я о таком письме, признаться, не слышал. Но на данный момент эта информация представляется малозначимой для "следствия" (хотя наперёд ничего утверждать нельзя).
И что Вы думаете по поводу "Гипотезы Ферма" - гипотеза или троллинг?

ishhan в сообщении #1145036 писал(а):

...................
А Вы, имеете отношение к ВТФ, может быть у Вас есть свой подход?
........................

Мне не совсем понятно Ваше "имеете отношение к ВТФ". Могу лишь заверить, что ни в качестве "a", ни в качестве "b", ни в качестве "c" (и даже n) я в УФ не фигурирую. Т.е. в этом смысле - никакого отношения к ВТФ не имею. Что до подхода, то, как я понял, вы имеете в виду подход к доказательству ВТФ. Но я же уже обращал Ваше внимание - здесь несколько иной предмет исследования. Забудьте Вы про доказывание ВТФ (она сама, если надо будет, докажется). Давайте версии доказывать!

ishhan в сообщении #1145036 писал(а):

...................
............................
Вам, как сыщику и криминалисту, понятна разница в доказательстве ВТФ для показателей четных и нечетных?

Во-первых, "сыщик" тут не я один - я всех призываю заняться сыскным делом (и Вас в том числе!). Во-вторых, если сыщику (следователю) что-то не понятно, то он, по обыкновению, обращается к экспертам - незнание чего-то не должно препятствовать поступательному движению расследования.
И да - что Вы думаете о Гипотезе Ферма (про "простые" числа)?