Теория размерности в динамических системах

[timber]

Помогите, пожалуйста, найти источники по теме: Теория размерности в динамических системах. Желательно доступные для скачивания в электронном виде.
Хотелось бы разобраться в теме.

У меня гуглится только упоминание монографии Я.Б.Песина "Теория размерности в динамических системах: современный взгляд и приложения" и ссылки на фракталы. Может быть фракталы -- это и есть одни из объектов теории размерности?

[Aritaborian]

timber в сообщении #1141800 писал(а):

Может быть фракталы -- это и есть одни из объектов теории размерности?

Так оно и есть.

[timber]

Теория размерности в динамических системах по другому -- это Фракталы в динамических системах, но фракталы это вроде бы как классика динамических систем? Получается что-то похожее на "масло масляное". Какая странная постановка (формулировка) самой темы! Или теория размерности в ДС -- это не только фракталы в ДС?

[Aritaborian]

Я ответил в точности на заданный вами вопрос (курсив мой):

timber в сообщении #1141800 писал(а):

это и есть одни из объектов

So, по всему выходит, что фракталами дело не ограничивается.

[timber]

Это мне понятно. Спасибо. Но может вы знаете, что еще туда входит? То есть что еще из теории размерности применяется в ДС?

[demolishka]

Я не специалист и сам только начинаю заниматься этой темой, но выскажу свой текущий взгляд на все это.

Изучение динамической системы сводится к изучению ее аттрактора. Интересны конечно динамические системы с так называемыми странными аттракторами, которые имеют фрактальную структуру (нецелое значение хаусдорфовой размерности). При этом такие аттракторы редко возникают просто так и скорее всего это связано с хаотическим поведением системы. Конечно ни о каком точном вычисление размерности речи не идет. Но при этом можно, не зная сам аттрактор, а лишь его локализовав его (найдя область где он лежит) получить верхние оценки размерностей (хаусдорфовой размерности, фрактальной размерности, энтропии и д.р.). Эта часть теории размерностей в динамических системах более реальна (т.е. можно принять эту теорию для конкретной динамической системы) в отличие от, например, размерностей связанных с инвариантной мерой (собственно последняя глава в упомянутой монографии Я. Б. Песина). Здесь Вы встретитесь с проблемой, что на деле не атомную инвариантную меру найти проблематично.

По теме оценок размерностей аттракторов есть книга V. A. Boichenko, G. A. Leonov, V. Reitmann "Dimension Theory for Ordinary Differential Equations". В свободном доступе ее не найдешь, но насколько я понимаю она состоит из основ теории размерностей + статей авторов, которые более доступны.

Помимо абстрактной теории изложенной в монографии Я. Б. Песина (доступ к ней кстати есть в электронной библиотеке СПбГУ) имеется книга James C. Robinson, "Dimensions, Embeddings, and Attractors". Где в терминах теории размерностей формулируются теоремы вложения. В частности, показано, что аттракторы возникающие в некоторых бесконечномерных динамических системах сами конечномерные и вкладываются конкретным образом в $\mathbb{R}^n$. К тому же, в книге предлагаются задачи с отсылкой к конкретным статьям (например, по уравнению Навье-Стокса). Если не удастся найти эту книгу в интернете, то могу выслать Вам на почту.

[dsge]

Отдельные главы посвящены этой тематике в книгах: Temam. Infinite dimensional dynamical systems, c похожим названием книги Чуешова, и Бабина и Вишика. Обзорная статья Ладыженской в УМН 1987(8?).

[timber]

Большое спасибо.
Подскажите еще, пожалуйста. Запутался в поисках. Есть еще такой раздел -- Когомологии динамических систем.
Когомологическая теория и теория размерности топологических пространств -- это понимаю что-то очень близкое в части приложения к динамическим системам. Или это очень разные вещи, говоря об объектах исследования?
Если взять, допустим такие общие темы как: 1) Теория размерности в динамических системах и 2) Когомологии в динамических системах -- то это все примерно про одно и то же или будет принципиально отличаться?

[dsge]

timber в сообщении #1141836 писал(а):

Если взять, допустим такие общие темы как: 1) Теория размерности в динамических системах и 2) Когомологии в динамических системах -- то это все примерно про одно и то же или будет принципиально отличаться?

Не совсем одно и то же. 1-ое имеет дело с размерностями инвариантных множеств динамических систем, т.е с размерностями подмножеств фазового пространства; 2-ое со свойствами динамической системы как группы преобразований на фиксированном многообразии (фазовом пространстве).

[timber]

dsge, спасибо за пояснение.
Правильно понимаю, что основная (и может быть единственная) задача теории размерности в динамических системах -- это аналитическое и численное нахождение размерности Хаусдорфа какого-либо множества динамической системы, ну например фрактала или в случае нелинейности системы -- аттрактора?
А в когомологиях динамических систем основная задача -- это показать, как получить путем групповых преобразований заданного множества какое-либо другое множество или подмножество динамической системы (ну например, преобразовать аттрактор Милнора в аттрактор Лоренца), т.е. построить для этого определенную гомотопическую последовательность?
То есть получается, что теория размерности помогает исследовать количественные характеристики динамической системы, а теория когомологий -- качественные?