Обобщенная теорема Виета

[Rusit8800]

Дайте,пожалуйста, русскоязычную ссылку на доказательство данной теоремы на уровне 9 класса.Если можете, проведите доказательство сами.

[Mihr]

Rusit8800, а попробуйте сами. Запишите многочлен как произведение двучленов вида $x-x_i$ (где $x_i$ - корни этого многочлена) и раскройте скобки в полученном произведении.

[Rusit8800]

Mihr в сообщении #1138628 писал(а):

Rusit8800, а попробуйте сами. Запишите многочлен как произведение двучленов вида $x-x_i$ (где $x_i$ - корни этого многочлена) и раскройте скобки в полученном произведении.

Получится, что вместо коэффициентов $a, b, c, ...$ будут его корни $x_1, x_2, ... ,x_n$? Довольно громоздкое занятие.Кстати, насколько я знаю, не всякий полином можно разложить на двучлены.

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1138636 писал(а):

Получится, что вместо коэффициентов $a, b, c, ...$ будут его корни $x_1, x_2, ... ,x_n$?

Получится, что коэффициенты выражаются через корни.

Rusit8800 в сообщении #1138636 писал(а):

не всякий полином можно разложить на двучлены

На самом деле всякий (над комплексными числами, если коэффициенты были вещественными), но на уровне 9го класса в формулировку включается условие существования $n$ корней.

[Rusit8800]

Цитата:

над комплексными числами

Это-то да,но я рассматриваю только вещественные числа.

[Mihr]

Rusit8800 в сообщении #1138636 писал(а):

Получится, что вместо коэффициентов $a, b, c, ...$ будут его корни $x_1, x_2, ... ,x_n$?

Не сами корни, а основные симметрические многочлены, составленные из корней (со знаком "плюс" или "минус").

Rusit8800 в сообщении #1138636 писал(а):

Довольно громоздкое занятие.

Отнюдь нет.

Rusit8800 в сообщении #1138636 писал(а):

Кстати, насколько я знаю, не всякий полином можно разложить на двучлены.

Это верно (если не выходить в комплексную плоскость). Но тогда следует заметить, что и не всякий многочлен имеет действительные корни. Как Вы собираетесь сформулировать для такого многочлена теорему Виета?
Считайте пока для простоты, что речь идёт лишь о многочленах, допускающих разложение на линейные множители. И что именно для них сформулирована теорема Виета. Для уровня 9-го класса такой подход вполне приемлем.

[Sicker]

А как насчет доказательства обратной

[Mihr]

Sicker, а в чём проблема? Пишем то же самое тождество, которое получили при раскрытии скобок, но рассматриваем его "в обратную сторону" (справа налево).

[Sicker]

Тут нужна еще лемма о единственности многочлена

[Mihr]

То есть, о том, что многочлен однозначно определяется своими корнями? Так-то оно так, но школьник вполне может принять это утверждение на веру. Основную теорему арифметики, например, в школе тоже не доказывают. В то же время, в решении некоторых школьных олимпиадных задач эта теорема де-факто молчаливо используется как доказанное утверждение. И здесь, по сути, та же ситуация.

[Rusit8800]

В общем непонятно, как это сделать - доказать обобщенную теорему Виета, "попахивает" биномом Ньютона, хотя он тут вообще ни при чем.Надо попробовать найти закономерность.

[Otta]

Rusit8800
докажите необобщенную. Для многочлена второй степени. И скажите, что не получается.

[Mihr]

Otta, +1.

Rusit8800 всё будет понятно, если не поленитесь.
Чтобы было понятнее, начните с частных случаев. Перемножьте для начала два двучлена вида $x-x_i$, затем три. Если этого окажется недостаточно, - четыре. Больше, я уверен, не потребуется. Что получится в случае $n$ таких двучленов - Вам уже будет предельно ясно.

А бином Ньютона здесь действительно не нужен.

[arseniiv]

Rusit8800
И вообще вы говорите о трудностях, а конкретики по ним не раскрываете. И что мы должны делать, соболезновать? Ну, впишите меня, мне вас жалко (no sarcasm), хотя я одновременно и понимаю, что вы наверняка в силах из этой ситуации выпутаться.

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1138671 писал(а):

Rusit8800
И вообще вы говорите о трудностях, а конкретики по ним не раскрываете. И что мы должны делать, соболезновать? Ну, впишите меня, мне вас жалко (no sarcasm), хотя я одновременно и понимаю, что вы наверняка в силах из этой ситуации выпутаться.

Да нет, я даже не начинал, просто интересно узнать подробности.