Доказать, что сумма случайных величин -- случайная величина

[yshilov]

Пусть X и Y -- случайные величины на одном вероятностном пространстве
Требуется доказать, что X+Y -- тоже случайная величина
Вот тут доказывают, но объединение в доказательстве происходит по всем рациональным числам
https://math.stackexchange.com/question ... m-variable

Вопрос, почему рациональных (а не действительных) чисел достаточно для этого доказательства?
И если это не корректное доказательство, то как доказать правильно?

[Lia]

1) Формулы оформите.
2) Там ниже в комментарии все подробно написано.

[DeBill]

yshilov
Это -корректное д-во (и такое же, как и во всех учебниках - на русском)

yshilov в сообщении #1138451 писал(а):

почему рациональных

Потому что 1) рациональных - достаточно 2) а действительных - не прокатит. Фишка в том, что рациональных - счетное количество (так что работает аксиома о сигма-аддитивности Нашей алгебры), а дейст-х - несчетное (а про несчетное объединение эл-тов сигма-алгебры ничё сказать не могем)...

[yshilov]

DeBill

DeBill в сообщении #1138455 писал(а):

Потому что 1) рациональных - достаточно

В этом-то и вопрос, почему их достаточно? Ведь какое-то число можно представить не только как сумму рациональных, но и как сумму действительных чисел

[Lia]

Комментарий к первому ответу прочитайте, будьте добры, по Вашей ссылке. Там обосновано, почему достаточно.
Можете и учебник, действительно, взять.

[yshilov]

Lia
Я правильно понял, что суть того комментария в том, что всегда есть возможность выбрать r такое, что X+Y<x представится как X<r и Y<x-r ?
И тогда при объединении по всем r мы учтем все возможные X и Y ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.