Нахождение "замкнутых" формул последовательностей

[Rusit8800]

Одна из причин по которой я ненавижу последовательности - это нахождение к ним "свернутых" формул, например $1+2+3+...+n=0.5n(n+1)$.Порой это может длиться часами-нахождение закономерности, "работающее" для всех чисел, и не зависящее от предыдущих(так,например, я вывел через закономерность рекуррентную формулу для $5+5^2+5^3+...+5^n$, однако это мне мало что дало, т.к. зависит от предыдущего числа).Нельзя ли как-то выводить эти формулы напрямую, а не ломать голову для нахождения закономерности?
Например я уже сломал голову по нахождению закономерности суммы
$5+5^2+5^3+...+5^n$ и
$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
Вообще, мне было бы интересно, как выглядит обобщенная сумма первой формулы, то есть если вместо 5 взять произвольное натуральное число(а еще лучше действительное )

[12d3]

В первой сумме - геометрическая прогрессия же.
Во второй - избавьтесь в каждой дроби от радикалов в знаменателе, и у вас много чего сократится.

[Rusit8800]

Точно $5+5^2+5^3+...+5^n =\frac{5^{n+1}-1}{5-1}-1=\frac{5^{n+1}-5}{4}=\frac{5(5^n-1)}{4}$
И, по ходу, $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$

[alcoholist]

Rusit8800 в сообщении #1135602 писал(а):

Точно

ну а вторая, с радикалами?

[Mihr]

Rusit8800, для знакомства с методами суммирования рекомендую книгу Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник - Конкретная математика. Основание информатики. [1998, DjVu], стр. 60-87.

[Rusit8800]

Получается все суммы выводятся только интуицией? А нет ли инструмента помощней?

-- 04.07.2016, 12:40 --

Вот еще один "крепкий орешек": $1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n$.Я заметил одну очень интересную особенность:
$S_n=S_{n-1}(n+1)+n$ для $n>1$

-- 04.07.2016, 12:50 --

То есть

$$1!*1+2!*2+3!*3=((1*3+2)4+3)5+4)=119$$

$$1!*1+2!*2+3!*3+...+n!*n=\frac{3(2+n)!}{3!}+f(x)=\frac{(2+n)!}{2}+f(x)$$

, где $f(x)$, некая "загадочная" функция, к которой не подобрать "замкнутую" формулу.Например $f(1)=2$, $f(2)=2*4+3$, $f(n)=f(n-1)*(n+1)+n$

[Ms-dos4]

Rusit8800
1)Что значит только интуицией? Нет конечно. Но если вы имеете ввиду, есть ли универсальный метод нахождения суммы, то нет. (Есть разве что формулы суммирования типа Эйлера-Маклорена, но их польза в "реальных" случаях ограничивается разве что асимптотиками).
2)Да какой там крепкий. Там же почти все слагаемые сокращаются
$\[\sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot k!} = \sum\limits_{k = 1}^n {[(k + 1)! - k!]} = (n + 1)! - 1\] $

[Rusit8800]

Ms-dos4 в сообщении #1135616 писал(а):

$\[\sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot k!} = \sum\limits_{k = 1}^n {[(k + 1)! - k!]} = (n + 1)! - 1\] $

Как?!

[madschumacher]

Rusit8800 в сообщении #1135632 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #1135616 писал(а):

$\[\sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot k!} = \sum\limits_{k = 1}^n {[(k + 1)! - k!]} = (n + 1)! - 1\] $

Как?!

$k \cdot k! = (k+1 - 1) \cdot k! = (k+1)! - k!$
$\sum_{k=1}^n k \cdot k! = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) \ldots + (n! - (n-1)!) + ((n+1)! - n!) $

[Rusit8800]

Но нужно найти сумму

-- 04.07.2016, 14:30 --

Все, вопросов нет
$2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+1)!-n!=(n+1)!-1$

-- 04.07.2016, 14:31 --

Очень похож на этот случай $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$

-- 04.07.2016, 14:34 --

Есть ли какие-нибудь несложные методы нахождения суммы, не так чтобы выписывать значения для $n=1,2,3,4,5,6$ и через закономерности "додумывать" формулу, а чтобы красиво преобразовать и все сразу стало бы понятно(здесь ,например,благодаря преобразованию слагаемые взаимно уничтожаются)?

[Lia]

Rusit8800 в сообщении #1135635 писал(а):

Есть ли какие-нибудь несложные методы нахождения суммы,

Есть.
1) Опыт,
2) Теория (см., например, ссылку на Кнута, которую Вам дали, а Вы читать его еще не начали).

Посчитанные другими суммы не дадут Вам ни того, ни другого. Еще одна последовательность - и тема пойдет в Карантин, за попытками решения - то есть приобретением опыта.

-----

Разумеется, какая попало сумма считаться не будет, "считаются" только избранные.

[Rusit8800]

А какие суммы будут считаться?

-- 04.07.2016, 15:12 --

И да, я закончил 8 класс, поэтому мне теория попроще

[madschumacher]

Rusit8800 в сообщении #1135640 писал(а):

И да, я закончил 8 класс, поэтому мне теория попроще

тогда не переживайте раньше времени (тем более других интересных задачек полно)

Но, кстати, да:

Lia в сообщении #1135637 писал(а):

Разумеется, какая попало сумма считаться не будет, "считаются" только избранные.

Rusit8800 в сообщении #1135640 писал(а):

А какие суммы будут считаться?

Есть какой-нть алгоритм алгоритм (может, встроенный во всякие Wolfram или Maxima-у), который вычисляет конечные суммы и ряды, а если они не вычисляются, то радостно сообщает об этом?

[Rusit8800]

Цитата:

тогда не переживайте раньше времени (тем более других интересных задачек полно)

Но умение находить сумму чрезвычайно полезно на олимпиадах(иногда без этого не обойтись)

[madschumacher]

Rusit8800 в сообщении #1135642 писал(а):

Но умение находить сумму чрезвычайно полезно на олимпиадах(иногда без этого не обойтись)

Да, точно. Что-то я об этом запамятовал. Ну тогда, нарабатывайте опыт, а там уж и чутьё придет. На олимпиадах же обычно что-нть веселое спрашивают. А то было бы странно -- вот алгоритм, и по нему считайте. Где же тогда тут олимпиадность?