Существует ли соленоидальное поле данной длины?

[Red_Herring]

Интересно, для любых ли $f=f(x,y,z)$ существует векторное поле $\mathbf{A}$, такое что

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0,\qquad |\mathbf{A}|=f. $$

Разумеется, о единственности речь не идёт. В двумерном случае все ясно: $\mathbf{A}= (\phi_y,-\phi_x)$ и $|\nabla \phi|=f$.

[sup]

А какие условия на $f$? Гладкость, обращение в 0.
И, на всякий случай, решение надо глобальное или локальное устроит?

[Red_Herring]

$f$ гладкая, при $|\mathbf{x}|\ge C$ в ноль не обращается, решение при $|x|\ge C$.

На самом деле для неких иллюстраций мне нужно гораздо меньше, и я это легко могу устроить. Т.ч. задача просто мне кажется любопытной

[Vince Diesel]

А для двумерного случая очевидно, что $|\nabla \phi|=f$ для некоторой $\phi$?

[Red_Herring]

Vince Diesel в сообщении #1135292 писал(а):

А для двумерного случая очевидно, что $|\nabla \phi|=f$ для некоторой $\phi$?

Нет, но по крайней мере ясно, как это решать

[Munin]

Если вы можете решить 2-мерную задачу, то побейте всё пространство на 2-мерные плоскости, и решите в каждой из них.

[alcoholist]

Red_Herring
А если $f$ радиально-симметрична?

[g______d]

Munin в сообщении #1135311 писал(а):

Если вы можете решить 2-мерную задачу, то побейте всё пространство на 2-мерные плоскости, и решите в каждой из них.

Такое решение не будет соленоидальным в 3D, вообще говоря.

UPD: А, нет, будет...

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1135311 писал(а):

Если вы можете решить 2-мерную задачу, то побейте всё пространство на 2-мерные плоскости, и решите в каждой из них.

Действительно. Я начинал с другой задачи $|\nabla \times \mathbf{A}|=f$; поэтому и пропустил такое простое решение

-- 02.07.2016, 16:19 --

g______d в сообщении #1135348 писал(а):

Такое решение не будет соленоидальным в 3D, вообще говоря.

Как? Если $\mathbf{A}'= (\alpha ,\beta)$--решение 2D-задачи при данном $z$, то $\mathbf{A}= (\alpha ,\beta,0)$--решение 3D-задачи.

Другое дело в моей постановке с ротором

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1135354 писал(а):

Другое дело в моей постановке с ротором

Прошу прощения, я сегодня очень плохо соображаю. Почему нельзя решить уравнение $\nabla\times \widetilde{\mathbf{A}}=(\alpha,\beta,0)$? Правая часть же бездивергентна.

[Red_Herring]

g______d
Можно, конечно. Для меня это сразу стало понятно после замечания Munin

[Munin]

(Крайне польщён тем, что случайно помог двум таким крупным математикам.)