2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 18:41 
Аватара пользователя
Интересно, для любых ли $f=f(x,y,z)$ существует векторное поле $\mathbf{A}$, такое что
$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0,\qquad |\mathbf{A}|=f.
$$Разумеется, о единственности речь не идёт. В двумерном случае все ясно: $\mathbf{A}= (\phi_y,-\phi_x)$ и $|\nabla \phi|=f$.

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 19:31 
А какие условия на $f$? Гладкость, обращение в 0.
И, на всякий случай, решение надо глобальное или локальное устроит?

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 19:51 
Аватара пользователя
$f$ гладкая, при $|\mathbf{x}|\ge C$ в ноль не обращается, решение при $|x|\ge C$.

На самом деле для неких иллюстраций мне нужно гораздо меньше, и я это легко могу устроить. Т.ч. задача просто мне кажется любопытной

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 20:02 
А для двумерного случая очевидно, что $|\nabla \phi|=f$ для некоторой $\phi$?

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 20:05 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1135292 писал(а):
А для двумерного случая очевидно, что $|\nabla \phi|=f$ для некоторой $\phi$?

Нет, но по крайней мере ясно, как это решать

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 22:32 
Аватара пользователя
Если вы можете решить 2-мерную задачу, то побейте всё пространство на 2-мерные плоскости, и решите в каждой из них.

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение02.07.2016, 23:01 
Аватара пользователя
Red_Herring
А если $f$ радиально-симметрична?

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение03.07.2016, 00:02 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1135311 писал(а):
Если вы можете решить 2-мерную задачу, то побейте всё пространство на 2-мерные плоскости, и решите в каждой из них.


Такое решение не будет соленоидальным в 3D, вообще говоря.

UPD: А, нет, будет...

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение03.07.2016, 00:16 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1135311 писал(а):
Если вы можете решить 2-мерную задачу, то побейте всё пространство на 2-мерные плоскости, и решите в каждой из них.


Действительно. Я начинал с другой задачи $|\nabla \times \mathbf{A}|=f$; поэтому и пропустил такое простое решение

-- 02.07.2016, 16:19 --

g______d в сообщении #1135348 писал(а):
Такое решение не будет соленоидальным в 3D, вообще говоря.

Как? Если $\mathbf{A}'= (\alpha ,\beta)$--решение 2D-задачи при данном $z$, то $\mathbf{A}= (\alpha ,\beta,0)$--решение 3D-задачи.

Другое дело в моей постановке с ротором

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение03.07.2016, 00:23 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #1135354 писал(а):
Другое дело в моей постановке с ротором


Прошу прощения, я сегодня очень плохо соображаю. Почему нельзя решить уравнение $\nabla\times \widetilde{\mathbf{A}}=(\alpha,\beta,0)$? Правая часть же бездивергентна.

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение03.07.2016, 00:45 
Аватара пользователя
g______d
Можно, конечно. Для меня это сразу стало понятно после замечания Munin

 
 
 
 Re: Существует ли соленоидальное поле данной длины?
Сообщение03.07.2016, 01:03 
Аватара пользователя
(Крайне польщён тем, что случайно помог двум таким крупным математикам.)

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group