Система неравенств

[stedent076]

Решить систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5x^2-2xy+9y^2\leqslant1\\ 3x-5y\leqslant-2 \end{cases} $$

Что я пытался сделать:
Сначала попробовал выделить полный квадрат в первом уравнении, но его вид значительно усложнялся из-за иррациональности $\sqrt{5}$.
Мне удалось привести систему к такому виду:

$$ \begin{cases} 2xy-5x^2\geqslant(3y-1)(3y+1)\\ y\geqslant\dfrac{3x+2}{5} \end{cases} $$

Не знаю, что тут дальше делать. Если со вторым уравнением все более-менее понятно, то первое выглядит довольно неприятно.Или все-таки можно было как-то хитро свести первое уравнение к ур-ю окружности от неких переменных, а потом найти эти переменные во втором уравнении системы?

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1134760 писал(а):

Или все-таки можно было как-то хитро свести первое уравнение к ур-ю окружности от неких переменных, а потом найти эти переменные во втором уравнении системы?

Правильная идея, но неравенство задаст внутренность круга с границей, а не окружность. Достаточно тупо выделить полный квадрат по одной из переменных, не смущаясь коэффициентами в виде корней и прочими мелкими неприятностями.

[stedent076]

Brukvalub
Ок, выделяем квардат по $y$:
$((\sqrt{5}x)^2-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}\cdot x\cdot y+(\dfrac{y}{\sqrt{5}})^2)+8,8y^2\leqslant1$
$(\sqrt{5}x-\dfrac{y}{\sqrt{5}})^2+8,8y^2\leqslant1$
Ну как-то так. Но как это связано со вторым уравнением? Наверное, там задается функция или область, про вид которой нам в школе еще не рассказывали

[Brukvalub]

Замена переменных $u=\sqrt{5}x-\dfrac{y}{\sqrt{5}} , v = \sqrt{8,8}y$ оставит второе неравенство линейным. Линейное неравенство от 2-х переменных задают на плоскости полуплоскость с границей - прямой, отвечающей случаю равенства в нестрогом линейном неравенстве.

[DeBill]

stedent076
Посмотрим на это дело качественно: в переменных, указанных Brukvalub, Ваша система задает круг и полуплоскость. Если их пересечение - большое, то задача будет иметь кучу решений, и станет безнадежной. Потому единственная надежда - на то, что их пересечение состоит из одной точки. Т.е., неравенства должны быть равенствами.
Попробуем, заменить неравенства равенствами. О, чудо - и впрямь дискриминант занулился, и ответ угадался!
А теперь уже можно и решать. Вот Вам пример: решить систему $x^2 + y^2 \leqslant 2, x+y \geqslant 2$ . Угадаем решение: $x=1, y=1$. Выделяем полные квадраты : $(x-1)^2 + (y-1)^2 +2(x+y -2) \leqslant 0$. С учетом второго неравенства, получим требуемое...

[Brukvalub]

DeBill, "открою секрет", это модель задачи номер 8 из ДВИ в МГУ по математике 2011 г. Именно такая, как Вы предлагаете, алгебраическая схема решения была в авторском разборе для экзаменаторов на проверке. Но мне больше нравится чисто геометрическое решение с касанием круга и полуплоскости.

[DeBill]

Brukvalub
А, ну да, просто я подумал, ТС не справится с касательной к эллипсу. А с касательной к окружности - справится . Если с корнями не заплутает...

[svv]

DeBill в сообщении #1134815 писал(а):

Если их пересечение - большое, то задача будет иметь кучу решений, и станет безнадежной.

Я бы так сформулировал: в таком случае система неравенств будет неупрощаемым способом задать область, являющуюся пересечением эллипса и полуплоскости.

[Brukvalub]

svv в сообщении #1134905 писал(а):

пересечением эллипса и полуплоскости.

пересечением внутренности эллипса, объединенной с его границей, и полуплоскости.

[stedent076]

Спасибо всем, кто принял участие в осбуждении! Разобрался с решением)