Как найти формулу прямой пересекающей другую под опред углом

[DzetaHunter]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться.
Суть проблемы такова. Есть две прямые пересекающиеся под определённым углом.
Известно:
-Коэффициенты $(A_1, B_1, C_1)$ формулы первой прямой вида $A_1 \cdot x + B_1 \cdot y + C_1 = 0$
-Координаты точки пересечения прямых $(x_{12},y_{12})$
-Угол между прямыми $\alpha$
Надо найти:
-Коэффициенты $(A_2, B_2, C_2)$ формулы второй прямой $A_2 \cdot x + B_2 \cdot y + C_2 = 0$

Вот тут
http://www.cleverstudents.ru/line_and_p ... lines.html
нашёл как найти угол между прямыми, но как пройти в обратную сторону и зная угол найти коэффициенты прямой никак не соображу.

Пользуясь приведённой в статье по ссылке формулой можно записать следующее выражение

$$ \cos(\alpha ) = \frac{\left | A_{1}\cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} \right |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}}$$

Не понятно как отсюда выразить $A_2, B_2$ и как найти $ C_{2} $? Возможно я взял не самую подходящую формулу и есть более подходящая для решения моей задачи?
Заранее спасибо откликнувшимся!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Если подсказки не будут действовать - поедем обратно в Карантин. Учиться.

[NSKuber]

$(A_1, B_1)$ - нормальный вектор к первой прямой. Если прямые пересекаются под углом $\alpha$, то их нормальные векторы тоже. Так поверните первый вектор, получите нормальный вектор искомой прямой. А третий коэффициент находится с помощью данной точки пересечения.

[DzetaHunter]

Так приведённая внизу формула и есть расчет угла между нормалями. Проблема в том что там получается 2 неизвестные $A_{2}$ и $B_{2}$

[SomePupil]

Можете вспомнить школу: $y = kx + b$. Найти коэффициенты $k$ для заданных прямых, связать их с углом $\alpha$. Трудоёмко, конечно, но посильно.

[Otta]

Совершенно необязательно брать обе компоненты неизвестными. Нормалей - семейство, каждая из них задает одно и то же направление. Вполне достаточно искать какую-то одну нормаль с искусственно заданной одной компонентой. Например, сделать первую компоненту равной 1. А вторую - искать.

[Munin]

Ещё можно просто повернуть известный вектор по известной матрице поворота.

[DzetaHunter]

Нашёл вот такую формулу
$\tg \alpha = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2}$
где $k$ - угловой коэффициент.
через две точки прямой он находится так
$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Из первой формулы можно вывести значение $k_2$
$k_{2} = \frac{k_{1} + \tan \alpha }{1 - \tan \alpha \cdot k_{1}}$
ну и зная точку пересечения
$b_2 = y_{12} - k_2 \cdot x_{12}$
Казалось бы задача решена, но....
Как быть в случае если первая прямая параллельно оси $Oy$. Угловой коэффициент становится равным безконечности. Тоже самое по идее должно происходить и в случае если вторая прямая параллельна оси $Oy$. Меня эта категорически не устраивает поскольку решение этой задачи мне нужно для написания программы математического моделирования.

[Aritaborian]

DzetaHunter в сообщении #1133139 писал(а):

Как быть в случае если первая прямая параллельно оси $Oy$.

Вот поэтому нужно писать уравнения в общем виде: $Ax+By+C=0$. Тогда таких проблем не будет.

[DzetaHunter]

Абсолютно согласен. Для программирования такая форма записи наиболее удобная. Но как применить ранее приведённую мной формулу?
$\tg \alpha = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2}$

[Aritaborian]

DzetaHunter в сообщении #1133093 писал(а):

Вот тут http://www.cleverstudents.ru/line_and_p ... lines.html нашёл

DzetaHunter в сообщении #1133139 писал(а):

Нашёл вот такую формулу

Добрый вам совет: не надо «искать формулы». Откройте учебник ангема и потратьте некоторое время на проработку нескольких параграфов. Это даст вам настоящее понимание задачи, а не его иллюзию.

[NSKuber]

Вы уже два раза проигнорировали дельное предложение:

NSKuber в сообщении #1133107 писал(а):

Так поверните первый вектор, получите нормальный вектор искомой прямой.

Munin в сообщении #1133123 писал(а):

Ещё можно просто повернуть известный вектор по известной матрице поворота.

Таким методом задача решается влёт и для произвольного случая. Правда, возможно придётся

Aritaborian в сообщении #1133142 писал(а):

открыть учебник ангема и потратить некоторое время на проработку нескольких параграфов.

Зато вы будете понимать, что происходит.

[Munin]

DzetaHunter в сообщении #1133139 писал(а):

Как быть в случае если первая прямая параллельно оси $Oy$. Угловой коэффициент становится равным безконечности.

Две бесконечности сокращаются.

И кстати, тангенс пишут как $\tan$ только в Америке и в языках программирования. В русской математической литературе пишут $\tg.$

Соответственно, если $\tg\alpha=\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2},$ то
$\lim\limits_{k_1\to\infty}\tg\alpha=\lim\limits_{k_1\to\infty}\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}=\lim\limits_{k_1\to\infty}\dfrac{k_2/k_1-1}{1/k_1+k_2}=-\dfrac{1}{k_2}.$

[DzetaHunter]

Про тангенс знаю. Пользовался редактором формул, а там так забито.
За решение спасибо!