2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 13:02 
Пусть u(t) — функция со значениями в гильбертовом пространстве над полем вещественных чисел, A — самосопряженный
оператор. Рассмотрим уравнение

$\frac{d^2u}{dt^2} = Au$ (1)
Теорема: Для любого решения уравнения (1) имеет место неравенство
$||u(t)||^2 \leq c(t) (||u(T)||^2 + |a|)^{t/T} (||u(0)||^2 + |a|)^{(T-t)/T} -  |a|$,
$c(t) = e^{2t(T-t)}$
$a=  \frac{1}{2} [ (Au(0),u(0)) - (u'(0),u'(0)) ]$
Док-во:
Рассмотрим функцию
$\varphi(t) = ||u(t)||^2 = (u,u)$
Дифференцируя функцию, получим:
$\varphi ' (t) =  2(u, u')$ (это понятно)
$\varphi '' (t) = 2(u', u') + 2(u, Au)$ (это тоже понятно)
а вот дальше непонятки пошли:
Продифференцируем второе слагаемое в выражении для $\varphi '' (t) $:
(написано ".. второе слагаемое..", а куда они двоечку дели у этого слагаемого?)
$\frac{d}{dt}(u,Au) = 2 (u', Au) = 2 (u', u'') = \frac{d}{dt}(u',u')$
Следовательно,
$\varphi '' (t) = 4 (u',u') + 4a$ вот эта строчка вообще непонятна(
как получили "a"? и вообще все, что в этой строке?

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 13:44 
Исправьте опечатки, пожалуйста. Так и не будет понятно.
Вот тут сперва:
boss.dima.karpov в сообщении #1132770 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = \ldots = \frac{d}{dt}(u',u'')$

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 13:59 
Otta в сообщении #1132772 писал(а):
Исправьте опечатки, пожалуйста. Так и не будет понятно.
Вот тут сперва:
boss.dima.karpov в сообщении #1132770 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = \ldots = \frac{d}{dt}(u',u'')$

исправил

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 14:07 
Из исправленного равенства следует что производная разности двух скалярных произведений в левой и правой части этого равенства нулевая. Значит, сама разность - константа. Эту константу обозначили для удобства $2a$ - чтобы потом был множитель 4 в обоих слагаемых. Нашли. Она получится равной, например, указанной в формулировке. Все остальное "в этой строке" - сядьте, возьмите ручку и бумагу, напишите, подставьте, увидите, как получается.

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 16:04 
Otta в сообщении #1132778 писал(а):
Из исправленного равенства следует что производная разности двух скалярных произведений в левой и правой части этого равенства нулевая. Значит, сама разность - константа. Эту константу обозначили для удобства $2a$ - чтобы потом был множитель 4 в обоих слагаемых. Нашли. Она получится равной, например, указанной в формулировке. Все остальное "в этой строке" - сядьте, возьмите ручку и бумагу, напишите, подставьте, увидите, как получается.

а как они получили это $\frac{d}{dt}(u,Au) = 2 (u', Au)$ ?
у меня вот так получается на этом месте $\frac{d}{dt}(u,Au) = u'u''+u u'''$

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 16:46 
Аватара пользователя
boss.dima.karpov в сообщении #1132794 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = u'u''+u u'''$

Дифференцируете по $t$ один раз, а получаете производные аж 2-го и 3-го порядка! Чему равно $(Au)'$?

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 16:50 
demolishka в сообщении #1132798 писал(а):
boss.dima.karpov в сообщении #1132794 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = u'u''+u u'''$

Дифференцируете по $t$ один раз, а получаете производные аж 2-го и 3-го порядка! Чему равно $(Au)'$?

из условия:
$\frac{d^2u}{dt^2} = Au$
или я не туда смотрю?

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 17:04 
Аватара пользователя
Рано еще это условие применять. Вы же с этим разбираетесь:
boss.dima.karpov в сообщении #1132794 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = 2 (u', Au)$

Неужели хотя бы интуиция Вам не подсказывает чему равно $(Au)'$. Напомню, что $A$ --- линейный ограниченный оператор.

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 17:19 
demolishka в сообщении #1132804 писал(а):
Рано еще это условие применять. Вы же с этим разбираетесь:
boss.dima.karpov в сообщении #1132794 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = 2 (u', Au)$

Неужели хотя бы интуиция Вам не подсказывает чему равно $(Au)'$. Напомню, что $A$ --- линейный ограниченный оператор.

теперь вообще ничего не понятно.
если на условие рано смотреть, то как мы из этого $2 (u', Au) $ получаем это $ 2 (u', u'')$ ?

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 17:52 
Аватара пользователя
Потому что равенство
boss.dima.karpov в сообщении #1132794 писал(а):
$\frac{d}{dt}(u,Au) = 2 (u', Au)$

не зависит от выполнения или не выполнения равенства
boss.dima.karpov в сообщении #1132770 писал(а):
$\frac{d^2u}{dt^2} = Au$ (1)

И справедливо для любой непрерывно дифференцируемой $u$ и ограниченного линейного самосопряженного оператора $A$.

Распишите $\frac{d}{dt}(u,Au)$ просто по правилу Лейбница. Далее --- ответьте на вопрос который я Вам задавал выше.

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 17:58 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1132821 писал(а):
И справедливо для любой непрерывно дифференцируемой $u$ и ограниченного линейного оператора $A$.
Оператор должен быть самосопряженный.

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 18:01 
Аватара пользователя
Xaositect, да конечно. Я, когда набирал сообщение, думал о $(Au)'$ (здесь достаточно тех условий), которое boss.dima.karpov никак не может вычислить.

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 18:02 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #1132824 писал(а):
Оператор должен быть самосопряженный.
А он и сеть таков по условию задачи.
boss.dima.karpov в сообщении #1132770 писал(а):
Пусть u(t) — функция со значениями в гильбертовом пространстве над полем вещественных чисел, A — самосопряженный оператор.
8-)

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 18:12 
demolishka в сообщении #1132821 писал(а):
Распишите $\frac{d}{dt}(u,Au)$ просто по правилу Лейбница. Далее --- ответьте на вопрос который я Вам задавал выше.

как умею:
$(u, Au) =  u1 Au1  + ... + un Aun  $
т.е. $ (u, Au) = u Au $
$ (u, Au)' = u' Au+u Au' $

я не знаю ответ на Ваш вопрос.

 
 
 
 Re: непонятное доказательство теоремы
Сообщение19.06.2016, 18:26 
Аватара пользователя
boss.dima.karpov, формулы оформляйте, а то модератор снесет тему в карантин. Все-таки Вы знаете чему равно $(Au)'$. Ну тогда дело за малым: как из $(u,Au')$ получить $(u',Au)$?

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group