Кватернионы

[4th_Dim]

Всем привет.

Недавно узнал про кватернионы, и возникло несколько вопросов:

1. Равны ли по важности измерения кватерниона? Очень часто вижу, что из них выделяется одно "дейстивтельное" измерение (1 из совокупности $(1,i,j,k)$).

2. Если всё-таки все измерения эквивалентны, тогда почему $i^2, j^2, k^2$ равны именно -1, т.е. $i^2=j^2=k^2=-1$. Почему не так, например: $1^2=j^2=k^2=-i $ (т.е. теперь ось i - "особенная").

3. Я так понял, что повороты 3-мерных векторов кватернионами выполняются по аналогии с вращением 2-мерных векторов обычными комплексными числами, то есть этого не было как то выведено и просто сделано по аналогии, и вдруг получилось. И то, сначала не очень-то и вышло, и решили сделать 2 итерацию подгона, умножив на обратный кватернион и разделив угол на 2. Так ли это, или всем этим действиям есть какое-то адекватное объяснение?

Также буду благодарен за любые источники, освящающие в той или иной степени заданные мной вопросы.

[alcoholist]

4th_Dim в сообщении #1130982 писал(а):

1. Равны ли по важности измерения кватерниона? Очень часто вижу, что из них выделяется одно "дейстивтельное" измерение (1 из совокупности (1,i,j,k)).

Все они важны:)))
Существует единственный ненулевой кватернион $\xi$, для которого $\xi^2=\xi$. Этим условием и выделено подпространство $\xi\mathbb{R}$ (вы его измерением называете).
Под действием любого автоморфизма тела кватернионов это подпространство неподвижно. Собственно, все автоморфизмы крутят пространство кватернионов вокруг этого подпространства.

-- Вс июн 12, 2016 14:22:41 --

4th_Dim в сообщении #1130982 писал(а):

Если всё-таки все измерения эквивалентны, тогда почему i^2, j^2, k^2 равны именно -1, т.е. i^2=j^2=k^2=-1. Почему не так, например: 1^2=j^2=k^2=-i (т.е. теперь ось i - "особенная").

См. мой предыдущий пост. "$1$" -- это не произвольное обозначение, а именно тот единственный ненулевой элемент, для которого $1^2=1$. А остальные три вектора базиса (тела кватернионов как 4-мерного векторного пространства над $\mathbb{R}$) как угодно можно выбирать. Вот так, как принято -- очень удобно, вот и всё.

-- Вс июн 12, 2016 14:25:11 --

4th_Dim в сообщении #1130982 писал(а):

Так ли это, или всем этим действиям есть какое-то адекватное объяснение?

Есть объяснение. Боюсь, оно вам не понравится))) Дело в том, что одномерная и трехмерная сфера параллелизуемы. Еще семимерная параллелизуема, там тоже есть такие "вращения".

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: вернул.

[4th_Dim]

Цитата:

"$1$" -- это не произвольное обозначение, а именно тот единственный ненулевой элемент, для которого $1^2=1$

А где находится этот элемент в 4-мерном пространстве? На оси w? Тогда почему в $i^2=j^2=k^2=-1$ фигурирует только 3 базисных вектора $i,j,k$ , хотя осей 4?

[arseniiv]

4th_Dim в сообщении #1130982 писал(а):

3. Я так понял, что повороты 3-мерных векторов кватернионами выполняются по аналогии с вращением 2-мерных векторов обычными комплексными числами, то есть этого не было как то выведено и просто сделано по аналогии, и вдруг получилось. И то, сначала не очень-то и вышло, и решили сделать 2 итерацию подгона, умножив на обратный кватернион и разделив угол на 2. Так ли это, или всем этим действиям есть какое-то адекватное объяснение?

Есть. Для этого надо вооружиться определением вращения и попытаться выразить его в кватернионах.

Вообще же есть способ, который не зависит от размерности пространства. Берётся соответствующая вещественная алгебра Клиффорда, и некоторая подгруппа (spin group) группы её обратимых элементов представляет вращения векторов (по два элемента для каждого поворота, как и с кватернионами), которые тоже в алгебру Клиффорда входят. Преобразование получается аналогичное — $v\mapsto r^{-1}vr$. Его можно вывести из геометрических соображений. (При этом в двумерном случае упомянутая группа изоморфна группе комплексных чисел с модулем 1, а в трёхмерном — аналогичной группе кватернионов.)

[alcoholist]

4th_Dim в сообщении #1131005 писал(а):

А где находится этот элемент в 4-мерном пространстве? На оси w? Тогда почему в $i^2=j^2=k^2=-1$ фигурирует только 3 базисных вектора $i,j,k$ , хотя осей 4?

соотношение $1^2=1$ по понятным причинам опускается))

[Brukvalub]

4th_Dim в сообщении #1130982 писал(а):

Равны ли по важности измерения кватерниона?

Важнее всего хвост! Сначала дайте нам определение важности измерения, тогда и разберемся, кто там важнее.

4th_Dim в сообщении #1131005 писал(а):

А где находится этот элемент в 4-мерном пространстве? На оси w?

А что это за "ось $w$" ?

4th_Dim в сообщении #1131005 писал(а):

Тогда почему в $i^2=j^2=k^2=-1$ фигурирует только 3 базисных вектора $i,j,k$ , хотя осей 4?

Потому, что у кватернионов такое определение.

[alcoholist]

Brukvalub в сообщении #1132477 писал(а):

Потому, что у кватернионов такое определение.

ну, любое вещественное число тоже кватернион)))

[Sinoid]

Думал, тема заглохла. А раз нет, то вставлю свои 5 копеек.

4th_Dim в сообщении #1130982 писал(а):

1. Равны ли по важности измерения кватерниона? Очень часто вижу, что из них выделяется одно "дейстивтельное" измерение (1 из совокупности $(1,i,j,k)$).

Некоторые авторы вместо $(1,i,j,k)$ пишут $(e,i,j,k)$

[arseniiv]

(Сомнительная польза от этого, по-моему. Переобозначение не изменит того, что $\mathbb R$ — подтело $\mathbb H$. Да и для обозначения элементов $\mathbb C$ ведь никто не прибегает к записям $8e+3i$, а ситуация там такая же.)

[Munin]

И вообще, $e=2{,}71828\ldots$