2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение09.06.2016, 19:48 


09/06/16
5
Здравствуйте. Меня заинтересовала одна задача. Есть конус, в основании которого лежит круг радиуса r. Известны координаты вектора, образованного центром окружности и вершиной. Нужно найти площадь боковой поверхности конуса. К сожалению программа 10 класса не даёт мне самому разобраться в этом вопросе, поэтому обращаюсь сюда за помощью.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.06.2016, 19:59 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение09.06.2016, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Ответьте, пожалуйста, на наводящий вопрос: как координаты вектора связаны с его длиной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение09.06.2016, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Что-то я навскидку боюсь, что там эллиптический интеграл получается. (На школьном языке - неберущийся.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение09.06.2016, 23:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
wafemand
"Конус" в 10 классе - это "прямой круговой конус", да ?(т.е., вершина конуса лежит в точности над центром круга)

Задачу можно решать тремями способами...
1. Использовать формулу для площади боковой поверхности (которой Вас учили, но не научили, видимо...)
2. Сделать развертку боковой поверхности конуса: получится сектор. Но...Но снова придется применять формулы - теперь для площади сектора, а с ними у Вас проблемы.. (Но зато Вы сами выведите формулу из п.1)
3. Спроектировать конус на основание. При таком проектировании, площадь боковой пов-ти умножится на косинус угла между образующей и плоскостью основания - и получится площадь основания. Но, боюсь, Ваш препод не заценит такой экзотический способ - а заценит, наоборот, знание формул....

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
DeBill в сообщении #1130470 писал(а):
wafemand
"Конус" в 10 классе - это "прямой круговой конус", да ?(т.е., вершина конуса лежит в точности над центром круга)

В том-то и фокус, что конус - наклонный, так что все Ваши, DeBill, предложения - "фтопку" не проходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:17 


09/06/16
5
DeBill в сообщении #1130470 писал(а):
wafemand
"Конус" в 10 классе - это "прямой круговой конус", да ?(т.е., вершина конуса лежит в точности над центром круга)

Задачу можно решать тремями способами...
1. Использовать формулу для площади боковой поверхности (которой Вас учили, но не научили, видимо...)
2. Сделать развертку боковой поверхности конуса: получится сектор. Но...Но снова придется применять формулы - теперь для площади сектора, а с ними у Вас проблемы.. (Но зато Вы сами выведите формулу из п.1)
3. Спроектировать конус на основание. При таком проектировании, площадь боковой пов-ти умножится на косинус угла между образующей и плоскостью основания - и получится площадь основания. Но, боюсь, Ваш препод не заценит такой экзотический способ - а заценит, наоборот, знание формул....


В 10 классе мы не проходили конус, но это не важно. Конус именно наклонный, а не прямой.

1) Эти формулы я знаю.
2) С этим проблем нет)
3) (не спроектировать, а спроецировать, наверное) Задачу придумал себе я. Препод тут не причём :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:20 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Оффтоп)

wafemand в сообщении #1130477 писал(а):
не спроектировать, а спроецировать, наверное
Не-не, умные дядьки говорят «спроектировать», правда-правда ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:23 


09/06/16
5
Munin в сообщении #1130457 писал(а):
Что-то я навскидку боюсь, что там эллиптический интеграл получается. (На школьном языке - неберущийся.)

Я так понимаю неберущийся интеграл - это тот, который нельзя выразить одной формулой?
И можете помочь с поиском этого интеграла?

-- 10.06.2016, 02:29 --

Anton_Peplov в сообщении #1130404 писал(а):
Ответьте, пожалуйста, на наводящий вопрос: как координаты вектора связаны с его длиной?


Странный вопрос. Ну если 2-мерный вектор, то $l = \sqrt{x^2 + y^2}$.
А если 3-мерный, то $l = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
l - длина вектора

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
wafemand в сообщении #1130479 писал(а):
Я так понимаю неберущийся интеграл - это тот, который нельзя выразить одной формулой?
И можете помочь с поиском этого интеграла?

Раз интеграл не берется, то и найти его нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:40 


09/06/16
5
Brukvalub в сообщении #1130481 писал(а):
wafemand в сообщении #1130479 писал(а):
Я так понимаю неберущийся интеграл - это тот, который нельзя выразить одной формулой?
И можете помочь с поиском этого интеграла?

Раз интеграл не берется, то и найти его нельзя.


Я имею ввиду получить хоть какой-нибудь ответ, пусть даже и с неберущимися интегралами.
То есть если $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ не берётся, то оставить его как $\int\limits_{}^{}f(x)dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
В чем проблема? Параметризуйте конус, напишите компоненты первой квадратичной формы для его поверхности, найдите элемент площади поверхности и проинтегрируйте найденный элемент по области изменения параметров, делов-то на две минуты... Если мы будем решать здесь такую тривиальщину, то злые модеры мигом нас забанят за нарушение правила "простые учебные задачи не решать!". :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Самое простое: использование элементов векторного исчисления. Вот если есть кривая $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$, $0<t < T$, как найти площадь элемента конуса (закрашен)? И как параметризовать Ваш конус?

\begin{tikzpicture}

\fill[cyan!20] (0,0)--(1,2)--(1.4, 2.1);
\draw[thick,->] (0,0)--(1,2) node[above] {$\mathbf{r}$};
\draw[thick,->] (1,2)--(1.4, 2.1) node[above] {$d\mathbf{r}$};
\draw (0,0)--(1.4, 2.1);

\end{tikzpicture}

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora

(Red_Herring)

Мы используем элементы векторного исчисления, потому что ищем площадь элемента поверхности. Если бы искали полный объём конуса, использовали бы векторное исчисление в полном объёме. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности наклонного конуса.
Сообщение10.06.2016, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
wafemand в сообщении #1130477 писал(а):
Задачу придумал себе я. Препод тут не причём :)

Прежде всего: вот тут вы очень молодец! Нечего сидеть на месте и довольствоваться тем, что скармливают!

Но увы, есть такие разделы математики (чёрт, да их большинство!), где задачи примерно распадаются на две группы:
- те, которые можно решить, сравнительно простые, и может быть, даже кому-то скучные;
- те, которые записываются хотя бы чуть-чуть сложнее, но решить их безумно сложно или невозможно вовсе.
Математика - это как ходить по болоту. Чуть-чуть оступишься, и провалишься. (Некоторое спасение можно найти в примерных вычислениях, например, в численном интегрировании.)

wafemand в сообщении #1130479 писал(а):
И можете помочь с поиском этого интеграла?

А вы смелый? Это материал первого-второго года вуза, "математический анализ функций нескольких переменных" (плюс немного "аналитической геометрии").

Суть в том, что искомый интеграл - это интеграл по поверхности. Это вам могли рассказывать на физике: вы разбиваете на малые элементы $dx$ не числовую ось $Ox,$ а некоторую поверхность $S,$ так что получаются элементы $dS$ (численно каждому элементу сопоставляется его площадь, отсюда и обозначения). Такой интеграл записывается в виде $\int f\,dS.$ Сама функция $f$ может быть при этом задана во всём объёме - $f(x,y,z)$ - но это не обязательно. Главное, чтобы она оказалась задана во всех точках, где проходит поверхность - поверхность интегрирования. Это общая идея интеграла по поверхности. А вам нужна более простая: вам нужно найти просто площадь поверхности. То есть, вы можете положить $f=1,$ и не задумываться о ней! :-) Вас интересует $S=\int dS.$

Когда мы разбили поверхность на малые элементы, мы облегчили себе работу. Мы теперь имеем дело не с искривлённой поверхностью, а с кусочком плоскости. Поэтому, мы можем применять простые формулы.

    Например, можно спроецировать (умные дядьки пусть как хотят, а я привык проецировать) этот кусочек плоскости на какую-нибудь из координатных плоскостей, например, на $Oxy.$ Тогда мы можем заметить, что площади соотносятся так: $dS=\dfrac{dS_{xy}}{\cos\alpha},$ где $\alpha$ - угол между нашим кусочком плоскости, и координатной плоскостью $Oxy.$ А кусочек плоскости $dS_{xy}$ можно принять прямоугольным, и тогда написать $dS_{xy}=dx\,dy$ (от выбора формы кусочка интеграл не должен зависеть). И таким образом, мы имеем двойной интеграл, который можем взять как повторный - интеграл от интеграла:
    $$\textstyle\int\ldots dS_{xy}=\iint\ldots dx\,dy=\int\bigl(\int\ldots dx\bigr)dy.$$ Ну или в другом удобном для нас порядке (не обязательно даже брать этот интеграл в декартовой системе координат по плоскости $Oxy$). Совершенно аналогично можно взять проекцию на плоскости $Oxz,\,Oyz.$

    Нераскрыт только вопрос, как вычислить $\cos\alpha.$ Например, если поверхность задана как функция "рельефа местности" $z=f(x,y),$ то $dx\,dy$ будет прямоугольником, а $dS$ - "поднятым" над ним параллелограммом. Стороны этого параллелограмма образуют с плоскостью $Oxy$ углы, которые вычисляются через частные производные: $\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\,\dfrac{\partial f}{\partial y}$ - которые берутся от $f(x,y)$ по одной переменной при условии, что вторая переменная зафиксирована, "неподвижна". Как и для обычной производной, величина производной равна тангенсу соответствующего угла. Дальше используется ловкая замена: вместо угла между плоскостями, мы рассматриваем угол между нормалями (перпендикулярными к этим плоскостям прямыми), эти два угла равны между собой. А угол между нормалями можно вычислить через скалярное произведение двух векторов: $\vec{v}_{xy}=(1,0,0),$ и $\vec{v}_{dS}=\bigl(1,\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr).$ (Вектор $\vec{v}_{dS}$ нормален к плоскости $dS,$ потому что он нормален к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.) Таким образом, $\cos\alpha=\dfrac{\vec{v}_{xy}\cdot\vec{v}_{dS}}{|\vec{v}_{xy}|\cdot|\vec{v}_{dS}|},$ и окончательно, после вычисления в координатах, $\dfrac{1}{\cos\alpha}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr)^2}.$ Как видите, всё в конечном счёте можно вычислить средствами матанализа, геометрии и векторного исчисления.

Такой "прямолинейный" способ позволяет справиться с ситуациями общего вида, но в вашем случае я бы его не советовал. Лучше использовать хорошую форму рассматриваемой поверхности, и разбить её на кусочки удобного вида, которые потом можно будет легко собрать вместе. Один из способов вам предлагает (намёками) Red_Herring.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group