Тензор электромагнитного поля

[ilia3773]

Помогите пожалуйста разобраться.
Второй том Ландау, Лифшиц, параграф 26, конец.
Написано:
Тензор электромагнитного поля:
$F_{ik}=\frac{\partial A_{k}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial A_{i}}{\partial x^{k}}$

Легко убедиться, что:
$\frac{\partial F_{ik}}{\partial x^{l}}+\frac{\partial F_{kl}}{\partial x^{i}}+\frac{\partial F_{li}}{\partial x^{k}}=0$

Как мы получили второе выражение?

[Ms-dos4]

ilia3773
Продифференцировали да и сложили. Распишите $\[{\partial _l}{F_{ik}}\]$ (и две другие) через 4-потенциал, и сложите.

[ilia3773]

Ms-dos4
Спасибо!

Ответ у меня получился, я разобрался.

[Slav-27]

ilia3773
А ещё (ну это вам, может, на будущее):

ilia3773 в сообщении #1125762 писал(а):

$F_{ik}=\frac{\partial A_{k}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial A_{i}}{\partial x^{k}}$

Вот здесь расписано в компонентах равенство $F=dA$, где $A$ -- это 1-форма потенциала, а $d$ -- внешний дифференциал.

ilia3773 в сообщении #1125762 писал(а):

$\frac{\partial F_{ik}}{\partial x^{l}}+\frac{\partial F_{kl}}{\partial x^{i}}+\frac{\partial F_{li}}{\partial x^{k}}=0$

А вот здесь написано $dF=0$, т. е. внешний дифференциал 2-формы $F$ равен 0.
Но это очевидно, так как $dF=ddA$, а $d^2=0$ -- это доказывается (возможно, примерно как у вас выше).

[ilia3773]

Slav-27
Спасибо!

[Munin]

(Оффтоп)

На языке ЛЛ-2, $k$-формы - это полностью антисимметричные тензоры, а внешний дифференциал - это частная производная, а потом антисимметризация по новому индексу.

[Утундрий]

$\begin{gathered} F_{\alpha \beta } = A_{\beta ,\alpha } - A_{\alpha ,\beta } \hfill \\ F_{\alpha \beta ,\gamma } = A_{\beta ,\alpha \gamma } - A_{\alpha ,\beta \gamma } \hfill \\ \alpha \beta ,\gamma = \beta ,\alpha \gamma - \alpha ,\beta \gamma \hfill \\ \beta \gamma ,\alpha = \gamma ,\beta \alpha - \beta ,\gamma \alpha \hfill \\ \gamma \alpha ,\beta = \alpha ,\gamma \beta - \gamma ,\alpha \beta \hfill \\ \alpha \beta ,\gamma + \beta \gamma ,\alpha + \gamma \alpha ,\beta = \beta ,\alpha \gamma - \alpha ,\beta \gamma + \gamma ,\beta \alpha - \beta ,\gamma \alpha + \alpha ,\gamma \beta - \gamma ,\alpha \beta = 0 \hfill \\ \end{gathered} $

Полностью механические манипуляции же...

[ilia3773]

Утундрий
Спасибо!