Угловая скорость твердого тела вокруг главных осей инерции

[Munin]

_genius_ в сообщении #1118725 писал(а):

У меня есть то что слева, а надо то что справа.

Принято ещё объяснять, что обозначается всеми обозначениями.

[_genius_]

Munin
Так я вроде объяснил. Что вам ещё не хватает?

[Munin]

Вот теперь задача яснее.

Никакие "главные оси инерции" вам не нужны. А нужно вычислять $\vec{\omega}$ из условия, что во вращающейся системе отсчёта скорости $\vec{v}^\mathrm{vib}$ не образуют вращения - их момент импульса равен нулю.

[_genius_]

Ещё как нужны, тензор должен быть диагональным, а оси главными, иначе потом будет неудобно считать импульс.

Цитата:

во вращающейся системе отсчёта скорости $\vec{v}^\mathrm{vib}$ не образуют вращения - их момент импульса равен нулю.

Господииии, ну это и так ясно, я же сказал что при расчете угловой скорости молекула считается твердым телом, скорость от вибраций как раз и будет разницей между идеальной общей скоростью ($\vec{v}^{CM}_l + \vec{\omega}_j\times\vec{r}_j$) в которой вибраций нет и реальной, в которой эти вибрации есть. Вопрос был в том как получить из линейных скоростей атомов угловую скорость молекулы. Зачем вы комментируете если не знаете как это сделать?

[Munin]

_genius_ в сообщении #1118755 писал(а):

иначе потом будет неудобно считать импульс.

Это вы как определили?

_genius_ в сообщении #1118755 писал(а):

Господииии, ну это и так ясно

А вот окружающим было не ясно, пока вы не привели полного условия задачи.

Удивительно, как неохотно люди помогают тем, от кого сами ждут помощи! Всё на телепатию надеются.

_genius_ в сообщении #1118755 писал(а):

я же сказал что при расчете угловой скорости молекула считается твердым телом

Не может она считаться твёрдым телом, если там есть вибрационные скорости.

[_genius_]

Я понял, почему предложение svv не дало желаемого результата: скорости с самого начала не были идеально перпендикулярны к радиус-векторам. А произведение угловой скорости на радиус-вектор дает только ту часть скорости, которая перпендикулярна радиус-вектору. Но тогда остается открытым вопрос по поводу нахождения скаляра, связывающего угловую скорость и векторное произведение линейных.

-- Ср апр 27, 2016 20:48:08 --

Цитата:

Это вы как определили?

В статье, которую я пытаюсь повторить, прямым текстом сказано про главные оси. Да и вместо тензора инерции указаны моменты инерции с индексом оси. Такое можно себе позволить только если тензор диагональный.

[svv]

Дано:
$\mathbf v_1=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1$
$\mathbf v_2=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_2$
Известно всё, кроме $\boldsymbol{\omega}$, которое и надо найти.

Из условия следует, что $\boldsymbol{\omega}\perp \mathbf v_1, \;\boldsymbol{\omega}\perp \mathbf v_2$, поэтому $\boldsymbol{\omega}=c(\mathbf v_1\times \mathbf v_2)$. Чтобы найти $c$, подставим выражение для $\boldsymbol{\omega}$ в выражение для $\mathbf v_1$ (например), и раскроем двойное векторное произведение. Получим:
$\mathbf v_1=c(\mathbf v_2(\mathbf r_1\cdot\mathbf v_1)-\mathbf v_1 (\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2))$
Так как $\mathbf r_1\perp\mathbf v_1$, первое слагаемое равно нулю, и остаётся
$\mathbf v_1=-c\mathbf v_1 (\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2)$,
откуда
$c=-\frac 1{\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2}$
Если бы мы подставили $\boldsymbol{\omega}$ в выражение для $\mathbf v_2$, мы бы получили
$c=+\frac 1{\mathbf r_2 \cdot \mathbf v_1}$
Но это то же самое, так как
$\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2+\mathbf r_2 \cdot \mathbf v_1=\mathbf r_1 \cdot (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_2)+\mathbf r_2 \cdot (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1)=0$
Итак,
$\boldsymbol{\omega}=-\frac 1 {\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2} (\mathbf v_1\times \mathbf v_2)=+\frac 1 {\mathbf r_2 \cdot \mathbf v_1} (\mathbf v_1\times \mathbf v_2)$

Между прочим, проверка равенства $\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2+\mathbf r_2 \cdot \mathbf v_1=0$ — ещё один тест на совместность исходных данных.

-- Ср апр 27, 2016 20:55:15 --

Правильно ли я понял, что к скорости вращения ещё добавляется неизвестная скорость центра масс $\mathbf v_0$ ?

[_genius_]

svv
Большое вам спасибо, все действительно было бы так если бы скорости были в точности перпендикулярны радиус-векторам.

Цитата:

$\mathbf r_1 \cdot \mathbf v_2+\mathbf r_2 \cdot \mathbf v_1=0$ — ещё один тест на совместность исходных данных.

И этот тест успешно провален
Я думаю что стоило бы скорости предварительно спроецировать на перпендикуляр к радиус-вектору, тогда все будет выполняться.

[svv]

Но можно считать, что задача такова?:
$\mathbf v_1=\mathbf v_C+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1$
$\mathbf v_2=\mathbf v_C+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_2$
$\mathbf v_3=\mathbf v_C+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_3$
Надо найти $\mathbf v_C$ и $\boldsymbol{\omega}$ по известным остальным векторам.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1118766 писал(а):

В статье, которую я пытаюсь повторить, прямым текстом сказано про главные оси.

Так у вас ещё и статья? Показывайте статью. Вечно так: хотят одного, а просят другого.

[_genius_]

svv
Вот так должно было бы быть в идеале. Но из-за вибрацией эти равенства не верны. Я думал, что возможно найти угловую скорость из данных линейных просто предположив что вибраций нет, но теперь уже сомневюсь в этом.
Munin
Вот кусочек.

Я давно привык, что эти статьи перед публикацией никто не проверяет, так что вполне может быть что они там что-то конкретно напутали, а на самом деле считали совсем по-другому. Я уже не говорю про переход от непрерывного к дискретному, он вообще нигде не оговаривается и сам собой разумеется, хотя то же ПФ меняется значительно, но не будем о грустном.

[svv]

С вибрацией мне связываться не хочется. А без неё задача по-прежнему легко решается.
Вычтем из уравнений для $\mathbf v_2$ и $\mathbf v_3$ уравнение для $\mathbf v_1$, получим:
$\mathbf v_{12}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_{12}$
$\mathbf v_{13}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_{13}$
где
$\mathbf v_{12}=\mathbf v_2-\mathbf v_1$
$\mathbf v_{13}=\mathbf v_3-\mathbf v_1$
$\mathbf r_{12}=\mathbf r_2-\mathbf r_1$
$\mathbf r_{13}=\mathbf r_3-\mathbf r_1$
— известные величины. При вычитании неизвестные $\mathbf v_C$ сокращаются, и задача нахождения $\boldsymbol{\omega}$ сводится к уже решённой. Зная $\boldsymbol{\omega}$, легко найти $\mathbf v_C$.

Кстати, двух точек для определения $\mathbf v_C$ и $\boldsymbol{\omega}$ недостаточно: там 6 неизвестных и 6 уравнений, однако одно из уравнений является следствием остальных...

Это всё, чем я могу помочь.

[_genius_]

svv
$\mathbf v_C$-то как раз известна, точнее легко вычисляется. В любом случае огромное спасибо. Наверное они действительно что-то напутали в своей статье.
И напоследок прежде чем забить на эту задачу все-таки спрошу, можно ли найти такие векторы-проекции линейных скоростей, которые будут перпендикулярны радиус-векторам, но при этом сохранят свою коМПЛАНАрность? Мне кажется, что это должно исправить ситуацию. Проиллюстрирую что я имею в виду.

Я попытался сделать это интуитивно: $(\vec{v}\times\vec{r})\times\vec{r}$ для направления и $|\vec{v'}| = |\vec{v}|\sin(\alpha)$ для длины, где $\alpha$ - угол между $\vec{v}$ и $\vec{r}$, но при этом коМПЛАНАрность куда-то подевалась. Выходит ошибся.

[Munin]

Судя по тому, что написано в приведённом отрывке статьи, они кроме скоростей атомов имели другие данные - скорей всего, непосредственно эти самые угловые скорости. Извлечь их из того, что имеете вы, невозможно. Или придётся писать другие формулы.

[svv]

Ясно, что если скорости коллинеарны с $\mathbf v_C$, то и без неё, поэтому можно считать, что $\mathbf v_C=\mathbf 0$. Итак:
$\mathbf v_1=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_1$
$\mathbf v_2=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_2=\lambda\mathbf v_1$
Отсюда
$\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf r_2-\lambda\mathbf r_1)=0$
А это, в свою очередь, означает, что векторы $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf r_2-\lambda\mathbf r_1$ коллинеарны (как частный случай, один или оба равны нулю). Следовательно, векторы $\boldsymbol{\omega}, \mathbf r_1, \mathbf r_2$ компланарны — это необходимое и достаточное условие коллинеарности скоростей.