Лишние корни по ходу решения тригонометрического уравнения

[edwv]

Имеется разобранное (не мной) решение тригонометрического уравнения.
Я понимаю, как делать всяческие преобразования. Но не могу понять, как избавляться от "лишних корней". В обычном уравнении (где нет тригонометрии и прочего "эдакого") знаю, что можно просто корни подставить (в уравнение ПЕРЕД возведением в квадрат, например) и проверить подходит или нет, есть ли лишние корни.
А как быть в данной ситуации?

Почему проверка производится именно с помощью $\cos$$x$ $\geqslant$ $\sin x$ (на картинке выделено красным) Почему именно таким образом, каков математический смысл? Что проверяют?

[Brukvalub]

Ключница, поди, водку делала задачу решала? Не нужно здесь в квадрат возводить.

[edwv]

Brukvalub в сообщении #1114125 писал(а):

Ключница, поди, водку делала задачу решала? Не нужно здесь в квадрат возводить.

Я знаю, что тут можно решить другим способом. Я хочу разобраться как делать проверку.

[Someone]

edwv в сообщении #1114124 писал(а):

Почему проверка производится именно с помощью $\cos$$x$ $\geqslant$ $\sin x$

С моей точки зрения, если уж так решать, то нужно проверять условия $\cos x\neq 0$, $\sin x\neq 0$ и $\frac 1{\sin x}-\frac 1{\cos x}>0$ (последнее — потому, что в исходном уравнении правая часть $2\sin\frac{\pi}4>0$). Равносильно ли это условие тому, которое проверяется, надо ещё выяснять (сами, пожалуйста, выясните; если условия не равносильны, то решение содержит ошибку).

А вообще, Brukvalub совершенно прав: возводить в квадрат и создавать себе ненужные проблемы совершенно без надобности.

[edwv]

Правильно ли я рассуждаю?

Someone в сообщении #1114129 писал(а):

то нужно проверять условия $\cos x\neq 0$, $\sin x\neq 0$

Проверяем, так как они находятся в знаменателе исходного выражения (на ноль делить нельзя).

Someone в сообщении #1114129 писал(а):

$\frac 1{\sin x}-\frac 1{\cos x}>0$ (последнее — потому, что в исходном уравнении правая часть $2\sin\frac{\pi}4)

Данное условие мы делаем, так как уверены, что $2\sin\frac{\pi}4>0$, при этом $\frac 1{\sin x}-\frac 1{\cos x} $=$ $2\sin\frac{\pi}4 (равны) отсюда $\frac 1{\sin x}-\frac 1{\cos x}>0$
Логично, что если бы стояло справа выражение с отрицательным знаком, то мы бы сделали условие, что левая часть уравнения должна быть меньше нуля.
Но что если в исходном уравнении с двух сторон стояли бы неизвестные?

Someone в сообщении #1114129 писал(а):

А вообще, Brukvalub совершенно прав: возводить в квадрат и создавать себе ненужные проблемы совершенно без надобности.

Я с вами со всеми полностью согласен, однако может появиться ситуация, в которой данной "проблемы" не избежать, поэтому хочется быть к ней готовым.

[Brukvalub]

Так и проверять-то нужно совпадение знаков слева и справа, а не неотрицательность левой части.

[edwv]

Brukvalub в сообщении #1114147 писал(а):

Так и проверять-то нужно совпадение знаков слева и справа, а не неотрицательность левой части.

Каким образом это можно сделать? Вам, наверное, все это кажется крайне очевидным и т.д., но я только недавно во всё это вникать начал. Очень хочу разобрать и понять все эти моменты, научиться правильно мыслить, от чего отталкиваться...

Получается, что объяснение уважаемого Someone'a (уж не сочтите за грубость) неверно? Или я неправильно всё понял?

[Brukvalub]

edwv в сообщении #1114149 писал(а):

Получается, что объяснение уважаемого Someone'a (уж не сочтите за грубость) неверно?

Нет, его объяснение - верное.

edwv в сообщении #1114149 писал(а):

я неправильно всё понял?

Вы все поняли правильно, но потом еще поняли, что спрашивать проще, чем думать.

[edwv]

Brukvalub в сообщении #1114147 писал(а):

Так и проверять-то нужно совпадение знаков слева и справа, а не неотрицательность левой части.

А если бы с двух сторон стояли неизвестные?

Brukvalub в сообщении #1114147 писал(а):

но потом еще поняли, что спрашивать проще, чем думать.

Боюсь что-то додумать ошибочно, вот всё и по десять раз проверяю, спрашиваю, чтобы создать правильную целостную картину.

[Brukvalub]

edwv в сообщении #1114157 писал(а):

А если бы с двух сторон стояли неизвестные?

А что это меняет?

[edwv]

Brukvalub в сообщении #1114164 писал(а):

edwv в сообщении #1114157 писал(а):

А если бы с двух сторон стояли неизвестные?

А что это меняет?

А то, что

Цитата:

Так и проверять-то нужно совпадение знаков слева и справа, а не неотрицательность левой части.

знаки будут неизвестны.

[Brukvalub]

edwv в сообщении #1114167 писал(а):

знаки будут неизвестны.

Обе части уравнения возвели в квадрат, решили полученное уравнение, получили корни. Как это может быть, чтобы в корнях нельзя было определить знаки левой и правой части исходного уравнения?

[edwv]

Brukvalub в сообщении #1114173 писал(а):

edwv в сообщении #1114167 писал(а):

знаки будут неизвестны.

Обе части уравнения возвели в квадрат, решили полученное уравнение, получили корни. Как это может быть, чтобы в корнях нельзя было определить знаки левой и правой части исходного уравнения?

Хорошо. Давайте по шагам рассмотрим алгоритм решения.
Имеется простое тригонометрическое уравнение, в котором нет никаких ограничений, о которых нужно "дополнительно сказать" (имею в виду, например, возможное деление на ноль). В обеих частях исходного уравнения стоят неизвестные.
Появилась необходимость возвести в квадрат. Получили корни. Например, такие вот, как в моей задаче:
Что нужно делать ДАЛЬШЕ на этом шаге? В общем случае. Как убедиться, что в полученных корнях нет лишних?

[Someone]

Ну, пусть мы знаем, что $a=b$ или $a=-b$, но не знаем, какой именно случай имеет место. Как проверить, что $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (или, наоборот, разные), либо оба равны $0$?

[edwv]

Someone в сообщении #1114197 писал(а):

Ну, пусть мы знаем, что $a=b$ или $a=-b$, но не знаем, какой именно случай имеет место. Как проверить, что $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (или, наоборот, разные), либо оба равны $0$?

Всё это время пытался решить Вашу задачу. Вроде все элементарно, да.. но.
Перемножить их друг с другом? Я не знаю.