Используя определение, доказать, что число является пределом

[tohaf]

равен нулю

Я не понимаю, почему это называется доказательством. Я знаю определение предела последовательности по Коши и я понимаю, что это определение понятия предела, но слово "доказательство" у меня связано с инструментом, которым можно проверить решение. Здесь же, я могу сказать, что предел этой последовательности равен, да чему угодно, 3/7, например. И что? В результате я получу n > и далее, ответ, просто с чуть другими цифрами. Вот я нашел предел тот или иной последовательности. У меня появляется задача проверить его или доказать? По определению, можно вместо а поставить всё, что угодно... И в результате, получить номер члена, после которого все следующие окажутся в окрестности...
Верно ли я понимаю, что таким образом верность решения предела проверить нельзя? Если неверно, то где я не понимаю?

[gris]

Ну и как получить неравенство для Вашего $a=\frac37$? Вдруг мы получим, что-то вроде $n<2-32\varepsilon$? И что будет это означать?

[mihailm]

tohaf в сообщении #1114159 писал(а):

...Я не понимаю, почему это называется доказательством...

Ну вот в математике такую тарабарщину принято называть доказательством. Возможно в других областях науки и жизни есть и другие понимания слова "доказательство".
Тут два выхода: либо зубрить этот текст либо... понять. Третьего как говориться не дано.

[tohaf]

gris в сообщении #1114163 писал(а):

Ну и как получить неравенство для Вашего $a=\frac37$? Вдруг мы получим, что-то вроде $n<2-32\varepsilon$? И что будет это означать?

Ну, да, тогда получается фигня. Если окрестность равна даже единице. Я этого и ожидал, прорешал несколько примеров, потому подумал, а если изначально предел будет неправильным? И завис.

mihailm в сообщении #1114168 писал(а):

Ну вот в математике такую тарабарщину принято называть доказательством. Возможно в других областях науки и жизни есть и другие понимания слова "доказательство".
Тут два выхода: либо зубрить этот текст либо... понять. Третьего как говориться не дано.

Я хочу сказать, вот я утверждаю, что предел x(n)=1/n это А, равно нулю. И я это доказываю. Потому что для любой окрестности можно взять такой член (с неким номером натуральным), что все следующие члены(с большими номерами) окажутся внутри окрестности точки А. Я пишу условие "расстояние между А и членом строго меньше эпсилон", провожу расчет, нахожу n(E)
Вдруг, я вру, и говорю, что предел x(n)=1/n это A=3/7. Снова провожу расчет. В результате, убедиться в моей лжи можно только лишь логически рассудив, что, например, номер n не может быть меньше(опечатка) отрицательного числа, это абсурд.
Верно? Наверное, странные рассуждения... "вот именно вот это число является пределом, потому что..." - и можно взять другое число и не заметить этого (не всегда, ведь, так явно будет видна бредятина "n>какого-то отрицательного")...

[Brukvalub]

tohaf в сообщении #1114174 писал(а):

логически рассудив, что, например, номер n не может быть больше отрицательного числа, это абсурд.

Как это "не может быть больше отрицательного числа"? Вот это и есть ваш абсурд!

[gris]

То, что $n$ больше некоторого отрицательного числа при некотором $\varepsilon$, как раз очень неплохо, но может ли получиться такое неравенство для любого значения эпсилон?
Вспомнил ещё одну проверку на внимательность: Для любого $a$ существует $\varepsilon$ и $n$, что все члены сходящейся последовательности, начиная с $n$-ного, будут лежать в $\varepsilon$- окрестности $a$. Эта теорема останется верной, если даже все слова про $n$ убрать

[tohaf]

Brukvalub в сообщении #1114177 писал(а):

tohaf в сообщении #1114174 писал(а):

логически рассудив, что, например, номер n не может быть больше отрицательного числа, это абсурд.

Как это "не может быть больше отрицательного числа"? Вот это и есть ваш абсурд!

опечатался я... Может, кто-нибудь всё таки ответит на вопрос?) Вы меня еще сильнее запутали...

[tolstopuz]

А вы попробуйте провести рассуждения для $a=3/7$ подробно.

[tohaf]

tolstopuz в сообщении #1114193 писал(а):

А вы попробуйте провести рассуждения для $a=3/7$ подробно.

ok

[gris]

Я думаю, что рассмотрение конкретного примера ничего не прояснит. А вдруг для другой последовательности и других значений мы, решая соответствующее неравенство, получим ответ вида $n>f(\varepsilon)$?
Так вот, можно доказать, что такого неравенства мы вообще не получим для расходящейся последовательности, либо сможем его получить ровно для одного значения $a$ для сходящейся. Если же получили, то следует искать ошибку.

[tohaf]

$x_n=\frac{1}{n}$ и пусть я утверждаю, что предел этой последовательности равен $\frac{3}{7}$

$|x_n-a|<\varepsilon$

$|\frac{1}{n} - \frac{3}{7}|<\varepsilon$
После раскрытия модуля получим две системы. Да, я даже не знаю, как их решить, получается полная фигня.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 1/n-3/7\geqslant0 \\ &1/n-3/7<\varepsilon& \\ \end{array} \right.$$

и

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 1/n-3/7<0 \\ &-1/n+3/7<\varepsilon& \\ \end{array} \right.$$

в общем, получается полный бред. Я так не смогу найти номер (член) после которого все большие окажутся в окрестности, верно? А значит, и предел указан неверный.

[Brukvalub]

tohaf в сообщении #1114213 писал(а):

Я так не смогу найти номер (член) после которого все большие окажутся в окрестности, верно? А значит, и предел указан неверный.

Из того, что вы что-то там не можете найти, не следует, что это вообще нельзя найти. Может, вы просто не так ищете.

[provincialka]

tohaf У вас не в пределах проблемы, а в алгебре.
Можно не раскрывать модуль сразу, приведите внутри к общему знаменателю.
А ещё удобно неравенство $|x-a|<\varepsilon$ переписывать в виде двойного $-\varepsilon<x-a<\varepsilon$ или $a-\varepsilon<x< a+\varepsilon$

[gefest_md]

tohaf в сообщении #1114159 писал(а):

По определению, можно вместо а поставить всё, что угодно...

Поэтому убедитесь, что Вы понимаете определение и согласны с ним: $x_n$ имеет предел $a$, если любой $\varepsilon>0$ имеет свой $N$ такой, что для любого $n>N$, $|x_n-a|<\varepsilon$.

[tolstopuz]

Осталось сформулировать и упростить отрицание утверждения "последовательность $x_n$ имеет предел $a$". Тогда можно будет придумать доказательство утверждения "предел последовательности $x_n$ не равен $3/7$", где вместо слов "я так не смогу найти" будут верные рассуждения.