m_kristy
Заходите еще. На чай. У Вас красивые запястья, и голос звучит восхитительно.
Anton_Peplov, а можно я слегка разрушу Ваш педагогический Эдем посредством задавания каверзных вопросов? Так сказать, не корысти ради, а для приближения к осознанию того факта, что мир сложнее, чем любые наши представления о нём...
Вот есть такая штука, как логика второго порядка. От привычной нам логики первого порядка она отличается тем, что в ней допустимы не только предикатные и функциональные константы, но также предикатные и функциональные переменные. А это значит, что можно, например, поставить квантор не только на объекте, но и на свойстве ("для любого свойства натуральных чисел...", - и т.п.). Поскольку теория множеств в основном нужна для того, чтобы сопоставлять свойствам множества (например: свойство чётность - множество чётных чисел) и таким образом превращать свойства в объекты теории, то некоторые (насколько я помню, это был Куайн) даже характеризуют логику второго порядка как "теорию множеств в овечьей шкуре".
Это была преамбула, а теперь, собственно, амбула.
Так вот, в этой самой логике второго порядка, оказывается, можно выразить эту самую континуум-гипотезу в виде утверждения языка. Т.е. не нужно вводить никаких дополнительных понятий (вместе с определяющими их аксиомами) - чем, собственно, и занимаются разные аксиоматики теорий множеств, типа ZFC, а вот прямо так, из уже существующих в языке символов объектных и предикатных переменных и проч. - берём и конструируем синтаксически правильное утверждение. А поскольку в классической логике существует такая штука, как закон исключённого третьего, любое синтаксически правильное утверждение является либо истинным, либо ложным. Пока речь была о придуманных нами понятиях (типа понятия "множества"), мы могли считать, что неразрешимость какого-либо вопроса об этом понятии является недостатком придуманной нами аксиоматики. Т.е. мы имеем право ответить на этот вопрос любым нравящимся нам способом и добавить данный ответ в качестве новой аксиомы. Но здесь нет никакой прикладной аксиоматики! Только "чистая" логика. И эта "чистая" логика говорит нам, что континуум-гипотеза "на самом деле" либо истинна, либо ложна. А это значит, что если нам, хочется, например, считать континуум-гипотезу истинной и мы добавляем соответствующую аксиому, то вполне может оказаться, что "на самом деле" формальная система стала противоречивой (хотя возможно, что доказать противоречие мы никогда не сможем).
Как же быть?