Задача о двух окружностях.

[PSP]

Если расширить обычное понимание окружности до включение в него прямой ,как окружности бесконечного радиуса, то возникает следующая задача.
Пусть заданная точка движется по траектории, являющейся композицией движений по двум таким окружностям, то мы можем получить различные кривые – от прямой до циклоиды, трахоиды и т.п в плоском случае ,до обыкновенной винтовой линии или некоей траектории на торе.

Вопросы следующие :

1.Можно ли написать общую формулу для таких траекторий в общем виде, пусть даже параметрическую?

2.Известно,что окружность инвариантна относительно дробно-линейных преобразований.
Можно ли что-то сказать об инвариантности указанных траекторий относительно дробно-линейных преобразований.?

3.Известно, что для дробно-линейных преобразований инвариант Шварца равен 0.
Каков он может быть для указанных траекторий ?

Есть ещё и другие вопросы, но пока хватит и этих.

[Brukvalub]

PSP в сообщении #1106438 писал(а):

2.Известно,что окружность инвариантна относительно дробно-линейных преобразований.

Нет, это попросту не верно. При дробно-линейных преобразованиях окружность снова переходит в окружность, но не в себя, а, вообще говоря, в другую окружность.

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1106477 писал(а):

При дробно-линейных преобразованиях окружность снова переходит в окружность, но не в себя, а, вообще говоря, в другую окружность.

Очевидно, ТС это имел ввиду, но неудачно выразился. При этом радиус окружности также инвариантом не будет

PSP в сообщении #1106438 писал(а):

Можно ли что-то сказать об инвариантности указанных траекторий относительно дробно-линейных преобразований.?

Указанные траектории получены при движении одной окружности по другой (типа астрономических эпициклов). Т.в., неподвижная окружность останется окружностью, подвижная в каждый момент будет окружностью, однако переменного радиуса и движение будет с переменной скоростью. Но если окружность катится по другой, то факт качения останется. Поскольку однако радиус катящейся окружности переменный, то это будет не какая-либо циклоида, а чёрт знает что.

[Red_Herring]

Более того, вполне приличная траектория "колесо по прямой" превратится во что? Прямая станет окружностью, но прыжков то будет бесконечно много (причем с накоплением и измельчением к образу бесконечности)

[PSP]

Red_Herring в сообщении #1106480 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1106477 писал(а):

При дробно-линейных преобразованиях окружность снова переходит в окружность, но не в себя, а, вообще говоря, в другую окружность.

Очевидно, ТС это имел ввиду, но неудачно выразился. При этом радиус окружности также инвариантом не будет

PSP в сообщении #1106438 писал(а):

Можно ли что-то сказать об инвариантности указанных траекторий относительно дробно-линейных преобразований.?

Указанные траектории получены при движении одной окружности по другой (типа астрономических эпициклов). Т.в., неподвижная окружность останется окружностью, подвижная в каждый момент будет окружностью, однако переменного радиуса и движение будет с переменной скоростью. Но если окружность катится по другой, то факт качения останется. Поскольку однако радиус катящейся окружности переменный, то это будет не какая-либо циклоида, а чёрт знает что.

Да,в формулировке есть неточности,скорее всего.
Если определить класс кривых,порождённых движением композиции движения по двум окружностям (окружностям в указанном выше определении ) , коией можно назвать "дицикловые кривые" ,то предполагаю, что дробно-линейные преобразования оставляют такие кривые в этом классе.Диаметры ,и т.п ,конечно,инвариантами не будут,но,возможно ,найдутся другие характеристики ,коие будут инвариантами.К примеру, тот же инвариант Шварца или что другое.
Как мне кажется,исследования в этом направлении могут привести к интересным и практически важным результатам.
К такому классу кривых можно отнести как сами окружности и прямые, так и циклоиду (как укороченную,так и удлинённую), синусоиду, разные эпициклоиды,обыкновенную винтовую линию и т.п.
Как первый шаг,надо найти общую формулу для всех этих кривых.

[Red_Herring]

Я не знаю про и. Шварца, но линии класс линий получающихся в результате движения окружности $X$ по окружности $Y$ (окружности вкл. в себя и прямые) инвариантным не будет. Да Y перейдёт в окружность, и $X(t)$ (ведь X движется!) перейдет в окружность $X'(t)$, но если $X(t)$ имела постоянный радиус ( по $t$) то $X'(t) $–– нет!

Конечно, можно определить инвариантный класс линий, но он будет либо меньше (обобщенные окружности), либо больше исходного. А что такое винтовая линия? Мы же на плоскости!

[PSP]

Red_Herring в сообщении #1106530 писал(а):

Я не знаю про и. Шварца, но линии класс линий получающихся в результате движения окружности $X$ по окружности $Y$ (окружности вкл. в себя и прямые) инвариантным не будет. Да Y перейдёт в окружность, и $X(t)$ (ведь X движется!) перейдет в окружность $X'(t)$, но если $X(t)$ имела постоянный радиус ( по $t$) то $X'(t) $–– нет!

Конечно, можно определить инвариантный класс линий, но он будет либо меньше (обобщенные окружности), либо больше исходного. А что такое винтовая линия? Мы же на плоскости!

Нет,предполагается движение не только на плоскости ,но и в пространстве.
Обыкновенная винтовая линия - это композиция движения по окружности и прямой,но в пространстве.

По вопросу инвариантности есть 2 пути.Либо найти класс преобразований, оставляющий класс кривых "дицикловые кривые" в себе, либо выделить из этого класса кривых такой подкласс, коией дробно-линейные преобразования оставляют в себе.
Хорошо бы проверить оба пути.

[Red_Herring]

PSP в сообщении #1106531 писал(а):

Нет,предполагается движение не только на плоскости ,но и в пространстве.

Ну тогда это какие-то другие преобразования, не дробно-линейные.

[PSP]

Red_Herring в сообщении #1106539 писал(а):

PSP в сообщении #1106531 писал(а):

Нет,предполагается движение не только на плоскости ,но и в пространстве.

Ну тогда это какие-то другие преобразования, не дробно-линейные.

Существуют многомерные дробно-линейные преобразования.Есть даже литература по ним.
Например :

"Преобразования Мебиуса в многомерном пространстве" Альфорс Л.

[Алексей К.]

Полагаю, эта тема всё же приобретёт некоторую ценность, если прямо в ней отметить, что пурга (бред) не перестаёт быть пургой (бредом), даже если она под/на/писана Заслуженным участником.

(Что касается подробностей, то их автор сам выделил жирным шрифтом).

[Lia]

PSP в сообщении #1106531 писал(а):

Хорошо бы проверить оба пути.

Проверьте, пожалуйста. Это нужно делать до открытия темы, а не после. По крайней мере, так требуют Правила форума.

Цитата:

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. Физические теории должны быть также максимально четко сформулированы и подтверждены ссылками на эксперименты. Тема, формулировка которой признается нечеткой или неоднозначной, может быть отправлена в карантин до исправления. Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

Тема уходит в Карантин до появления всего означенного выше.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.