Сопряженные пространства (лекции Гельфанд И.М.)

[Brukvalub]

Munin, вы бы вместо того, чтобы раз за разом чего-то там требовать, для начала разъяснили бы, в каком смысле вы хотите понимать "равноправность" или "неравноправность" векторного пространства и пространства, ему сопряженного.

[svv]

В бесконечномерном случае для данного базиса в $R$ найдётся ли взаимный базис в $R^*$? (аксиомы 1-5 выполняются)

[g______d]

Munin в сообщении #1102863 писал(а):

DeBill говорит про ограниченные линейные функционалы.
Mikhail_K говорит про непрерывные линейные функционалы.

Это одно и то же, не просто так к Колмогорову и Фомину посылают.

[asclub]

DeBill в сообщении #1102843 писал(а):

arseniiv
А, еще: под "равноправием" можно понимать "равномощность"
...
Но можно спросить о равноправии как о чем то эфемерном, типа, ну вот, эти слева, эти справа - равноправны, значить...В таком духе я и воспринял вопрос о равноправии (конкретно: проходит ли схема Гельфанда?). Ответ: нет.

Под равноправием в данном случае Гельфанд (и притом очень конкретно) понимает то, что $R'$ можно рассматривать как пространство линейных функционалов над $R$, и наоборот, что $R$ можно рассматривать как пространство линейных функционалов над $R'$.

[Munin]

Brukvalub

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1102901 писал(а):

Munin, вы бы вместо того, чтобы раз за разом чего-то там требовать

Я требовал??? Я ничего не требовал... Вам в другое окошечко...

g______d в сообщении #1102926 писал(а):

Это одно и то же

Спасибо.

g______d

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1102926 писал(а):

не просто так к Колмогорову и Фомину посылают.

Свои последние мозги я потратил примерно месяц назад на книгу гораздо проще... Вавиловскую Mengenlehre дочитать не могу. А вы мне такое.

[DeBill]

asclub
НУ? Я ж написал, что именно так и понимаю. И дал ответ. И пример.
Что не так?

-- 29.02.2016, 11:54 --

И, кстати, непроходимость схемы Гельфанда (с уточнениями касательно непрерывности) как раз и означает нерефлексивность (а проходимость - рефлексивность). Вроде бы...

[Mikhail_K]

(Для Munin)

Munin в сообщении #1102993 писал(а):

Свои последние мозги я потратил примерно месяц назад на книгу гораздо проще... Вавиловскую Mengenlehre дочитать не могу. А вы мне такое.

Munin, да ну, Колмогоров-Фомин - это очень простая книжка... по сравнению с многими другими, во всяком случае.
Вот Ландау-Лифшиц, столь любимая Вами - вот это ужас :(

[asclub]

DeBill в сообщении #1103018 писал(а):

asclub
НУ? Я ж написал, что именно так и понимаю. И дал ответ. И пример.
Что не так?

-- 29.02.2016, 11:54 --

И, кстати, непроходимость схемы Гельфанда (с уточнениями касательно непрерывности) как раз и означает нерефлексивность (а проходимость - рефлексивность). Вроде бы...

А дело в том, что у Гельфанда, вообще нигде не фигурирует бесконечномерное пространство.

[svv]

Люди, я понимаю, что тут не до меня, но, может, кто-то всё-таки сможет ответить на мой вопрос. Обеспечивают ли аксиомы Гельфанда существование в $R^*$ базиса $\{e^i\}$, взаимного данному базису $\{e_i\}$ в $R$:
$(e^i,e_k)=\delta^i_k$.
В конечномерном случае да, а в бесконечномерном?

[DeBill]

asclub в сообщении #1103040 писал(а):

А дело в том, что у Гельфанда, вообще нигде не фигурирует бесконечномерное пространство.

А кто спорит об этом? В конечномерном - все хорошо.

[AV_77]

svv в сообщении #1103042 писал(а):

В конечномерном случае да, а в бесконечномерном?

Существование функций с нужным свойством, очевидно, обеспечивают. Но они не будут базисом $R^*$, то есть в бесконечномерном случае нельзя любую линейную функцию на $R$ представить в виде конечной линейной комбинации $e^i$.

[Someone]

DeBill в сообщении #1103018 писал(а):

И, кстати, непроходимость схемы Гельфанда (с уточнениями касательно непрерывности) как раз и означает нерефлексивность (а проходимость - рефлексивность). Вроде бы...

Нет. Схема Гельфанда с рефлексивностью не связана. Она же выполняется для любой пары $(R,R^*)$, если на $R$ достаточно много линейных функционалов, чтобы различить любую пару векторов.

svv в сообщении #1103042 писал(а):

Люди, я понимаю, что тут не до меня, но, может, кто-то всё-таки сможет ответить на мой вопрос. Обеспечивают ли аксиомы Гельфанда существование в $R^*$ базиса $\{e^i\}$, взаимного данному базису $\{e_i\}$ в $R$:
$(e^i,e_k)=\delta^i_k$.

В общем случае — нет. У $R$ и $R^*$ могут быть базисы разной мощности. А в частных случаях — не знаю.

-- Пн фев 29, 2016 12:53:07 --

AV_77 в сообщении #1103044 писал(а):

нельзя любую линейную функцию на $R$ представить в виде конечной линейной комбинации $e^i$.

Наверное, достаточно не представить точно, а представить "с любой точностью" в смысле топологии $R^*$.

[svv]

Спасибо.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1103045 писал(а):

У $R$ и $R^*$ могут быть базисы

а может и вообще не быть базисов. Даже в сепарабельных банаховых пространствах существование базиса не гарантировано.

-- 29.02.2016, 12:59 --

AV_77 в сообщении #1103044 писал(а):

то есть в бесконечномерном случае нельзя любую линейную функцию на $R$ представить в виде конечной линейной комбинации $e^i$.

Здесь надо различать базис Гамеля и базис Шаудера. Речь в бесконечномерном случае обычно ведётся про базис Шаудера - а там и не требуется, чтобы линейные комбинации векторов базиса были конечными.

Базис Гамеля, конечно, существует всегда - но он не сильно интересен.

[NSKuber]

svv в сообщении #1103042 писал(а):

Люди, я понимаю, что тут не до меня, но, может, кто-то всё-таки сможет ответить на мой вопрос. Обеспечивают ли аксиомы Гельфанда существование в $R^*$ базиса $\{e^i\}$, взаимного данному базису $\{e_i\}$ в $R$:
$(e^i,e_k)=\delta^i_k$.
В конечномерном случае да, а в бесконечномерном?

Нет, как уже упомянул Someone.
Например, $l^{\infty}(\mathbb{R})$ (пространство ограниченных последовательностей) имеет мощность $|\mathbb{R}|$, тогда как его сопряжённое - $2^{|\mathbb{R}|}$. Базисы, соответственно, тоже разномощны. (Я, конечно, про обычные базисы говорю, которые Гамеля).