Верхний предел интеграла переменная

[Александрович]

Пусть $F(x)$ и $f(x)$ соответственно функция распределения вероятности и плотность вероятности случайной величины, принимающей значения $x$, $f(x)=\frac{dF}{dx}$. Я хочу построить графики этиx функций на общих осях. Но я могу использовать только одну общую ось, поскольку у этих функций общая переменная, но объединять $F(x)$ и $f(x)$ я не имею права, ибо значения этих функций имеют разные размерности. И так, строится график с одной горизонтальной и двумя вертикальными осями. В каждой точке этого графика каждому из множества значений аргумента ставится в соответствие одно значение для любой из этих двух функций. Текущее значение $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(x)dx $, поскольку по определению определённого интервала это площадь под кривой $f(x)$ в интервале $[a;x]$. Это плохо, неудобно, но это так.

[Mikhail_K]

Александрович, да смотрите же моё объяснение в предыдущем сообщении! Вы правы, Ваши функции это $F(x)$ и $f(x)$, ось $x$ одна и называется она $x$, а текущее значение, тем не менее, $F(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$.

Смотрите внимательно. Предположим, что функции $F$ и $f$ связаны другой формулой: вместо интеграла пусть будет сумма. (Конечно, это уже другие $F$ и $f$, просто на таком примере мне будет проще объяснить.) Формула такая:

$$ F(k)=f(0)+f(1)+\dots+f(k-1). $$

Пусть, точно так же как в Вашем примере с интегралом, удобно функции $F$ и $f$ изображать графически, и зависеть они будут от одного аргумента $k$. То есть это будут функции $F(k)$ и $f(k)$, и ось $k$ одна и та же. Тогда Вы ведь ничего не имеете против того, что в аргументе у $f$ в правой части стоят $0$, $1$, $\dots$, $k-1$, а не везде только $k$? А теперь смотрите: эту последнюю формулу можно ещё записать

$$ F(k)=\sum\limits_{j=0}^{k-1} f(j). $$

Это то же самое, что и выше. Видите теперь, чем отличаются $j$ и $k$? $j$ - это вовсе не $k$, а те самые $0$, $1$, $\dots$, $k-1$, которые были в предыдущей записи. Хотя, если мы будем изображать эти функции графически, мы скажем что это функции $F(k)$ и $f(k)$, и зависят они от одного и того же аргумента $k$, и ось $k$ одна и та же - но в формуле всё равно пишем $j$.
Так же и с Вашим интегралом: там роль $k$ играет $x$, а роль $j$ играет $t$. Есть разница между $t$ и $x$: если $x$ - конкретный аргумент, в котором вычисляется $F(x)$ (и одновременно с нею - $f(x)$), то $t<x$ - меньшие аргументы на той же самой оси, ибо $F(x)$ зависит от значений функции $f$ не в той же самой точке $x$, а в точках $t$ левее её.

Прочитайте это внимательно! Я уверен, что больше здесь сказать нечего.

-- 26.02.2016, 14:58 --

----------
Скажу ещё проще. Вот Вы пишете

Александрович в сообщении #1102259 писал(а):

Текущее значение $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(x)dx $, поскольку по определению определённого интервала это площадь под кривой $f(x)$ в интервале $[a;x]$.

Здесь, очевидно, путаются "текущее" значение $x$, и предыдущие, от значения $f$ в которых зависит $F(x)$.
Поймите, что даже если ось называется $x$, все точки на этой оси не могут называться $x$. Если некоторая "текущая" точка на оси $x$ называется $x$, то другие точки на той же самой оси вполне могут называться $x-1$, $x-2$, или, к примеру, $t$.

-- 26.02.2016, 15:38 --

Александрович, давайте я Вам покажу несомненный недостаток Ваших обозначений.
Такие интегралы с переменным верхним пределом, конечно же, встречаются далеко не только в теории вероятностей. Так вот, если функция $f$ возрастающая, а $x$ близко к $a$, часто бывает полезно оценить

$$ \int\limits_a^x f(t)dt \leq f(x)\int\limits_a^x dt = f(x)(x-a). $$

Здесь используется: во-первых, то, что $t\leq x$ (вкупе с возрастанием $f$ это даёт $f(t)\leq f(x)$); во-вторых, то, что выражения, зависящие от $x$ (но не от $t$), можно выносить за знак интеграла. Другими словами, здесь используется, что $t$ и $x$ - не одно и то же. Как это простейшее неравенство внятно записать при Ваших обозначениях - я даже как-то сразу и не скажу. А ведь оценки бывают и гораздо более сложные. И во всех таких случаях неразличение $x$ и $t$ на порядок усложняет понимание.

[Munin]

Александрович в сообщении #1102259 писал(а):

Текущее значение $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(x)dx $, поскольку по определению определённого интервала это площадь под кривой $f(x)$ в интервале $[a;x]$.

Нет, по этому определению эта площадь записывается как $F(x)=\int\limits_a^x f(\_)\,d\_,$ где на месте _ стоит некоторая произвольная буква. Вы это понимаете? Что площадь так можно записать?

Второе. Чтобы эта буква не смешивалась с другими буквами, уже использованными, она должна отличаться от $a,d,f,F,x.$ Например, её можно обозначить $x'.$ Тогда получится $F(x)=\int\limits_a^x f(x')\,dx'.$

[Александрович]

Munin в сообщении #1102312 писал(а):

Второе. Чтобы эта буква не смешивалась с другими буквами, уже использованными, она должна отличаться от $a,d,f,F,x.$ Например, её можно обозначить $x'.$

Так почти во всех книжках прописано. "Хоть от обозначения переменной в подынтегральном выражении ничего не меняемся, обозначим её на всякий случай (от греха подальше) другой буквой". Я не могу обозначить $x$ буквами $a,d,f,F$, они уже использовались в формулах и совсем в других смыслах. А эту переменную я просто обязан использовать в $f(x)$ и в верхнем пределе определённого интеграла, поскольку $f(x)=\frac{F(x)}{dx} и $ и $F(x)=\int^x_a...$

[Mikhail_K]

Александрович в сообщении #1102334 писал(а):

Так почти во всех книжках прописано. "Хоть от обозначения переменной в подынтегральном выражении ничего не меняемся

Если Вы до сих пор не поняли, что от обозначения двух разных переменных одной буквой кое-что всё же меняется, и в книжках такое пишут не зря, объяснять Вам что-либо бесполезно. Ухожу из темы, тема исчерпана.

[Александрович]

Mikhail_K в сообщении #1102336 писал(а):

Если Вы до сих пор не поняли, что от обозначения двух разных переменных одной буквой кое-что всё же меняется, ...

В моём случае $x$ всегда одна и та же переменная.

[tolstopuz]

У меня есть смутные воспоминания, что в какой-то книге говорилось примерно так: запись $\int_a^xf(x)\,dx$ допустима, если это не вызывает путаницы. Сейчас посмотрел несколько учебников - Фихтенгольца, Ильина-Позняка, Кудрявцева, Никольского, даже Смирнова - нигде этой фразы нет, все пишут $\int_a^xf(t)\,dt$. Видимо, когда-то эта вольность речи была допустима, но со временем стала считаться неграмотностью. Тем более что у ТС она действительно вызывает путаницу.

А, вот нашел такую запись у Выгодского в издании 1933 года, причем безо всяких объяснений. Подозрения подтверждаются.

Вопрос к ТС: равны ли интегралы

$$\int_1^x\frac{x}{t}\,dt$$

и

$$\int_1^x\frac{x}{x}\,dx?$$

Означает ли в первом из них $x$ и $t$ одну и ту же переменную?

-- Пт фев 26, 2016 19:15:28 --

О, нашел у Зельдовича.

Цитата:

Те же соотношения можно написать в интегральном виде. При этом зададимся тем, что в некоторый начальный момент $t_0$ в первом сосуде количество жидкости равнялось $M(t_0)=M_0$, а второй сосуд был пуст $m(t_0)=0$. Тогда

$$m(t_1)=\int_{t_0}^{t_1}W(t)\,dt,$$

$$M(t_1)=M(t_0)-\int_{t_0}^{t_1}W(t)\,dt.\qquad(14.2)$$

Обращаем внимание на то, что если нас интересует количество жидкости в определенный момент $t_1$, то оно выражается через интеграл, в котором переменная интегрирования $t$ пробегает все значения от $t_0$ до $t_1$.
Если мы хотим написать выражения для $m(t)$ и $M(t)$, то для большей ясности удобно было бы переименовать переменную интегрирования (пользуясь тем, что она немая), назвав ее, например, $\tau$ ($\tau$ - тау - греческая буква, соответствующая латинской $t$ - тэ). Тогда

$$m(t)=\int_{t_0}^tW(\tau)\,d\tau,$$

$$M(t)=M(t_0)-\int_{t_0}^tW(\tau)\,d\tau.\qquad(14.3)$$

Обычно же пишут просто

$$m(t)=\int_{t_0}^tW(t)\,dt,$$

$$M(t)=M(t_0)-\int_{t_0}^tW(t)\,dt,\qquad(14.4)$$

но надо помнить, что $t$, стоящее под интегралом, имеет другой смысл, чем аргумент $t$ в $M(t)$ и $m(t)$, который совпадает с $t$ на верхнем пределе. В этом отношении запись (14.2) и (14.3) точнее, чем (14.4).

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1102312 писал(а):

Второе. Чтобы эта буква не смешивалась с другими буквами, уже использованными, она должна отличаться от $a,d,f,F,x.$ Например, её можно обозначить $x'.$ Тогда получится $F(x)=\int\limits_a^x f(x')\,dx'.$

А ещё можно использовать индексы де Брёйна (de Bruijn), показывающие, из какой из внешних связывающих конструкций берётся переменная (0 — из текущей, 1 — на одну выше и т. д.). Например, как-то так: $\int\limits_a^x f(\bar0)$ (чёрточка — чтобы не путать с обычным нулём; каких-то принятых обозначений для этих индексов нет по понятным причинам). Или вместо $\forall x(B(x,y)\vee\exists y.A(x,y))$ будет $\forall(B(\bar0,y)\vee\exists.A(\bar1,\bar0))$. Правила для замены и подстановки довольно просты, а некорректных подстановок, требующих заменить связанные переменные, попросту не бывает.

UPD: Исправил оригинальное написание де Брёйна.

[Someone]

tolstopuz, по-моему, топикстартеру это объясняют уже шестую страницу, и толку я пока не вижу. И он категорически игнорирует заданный ещё на первой странице и далее неоднократно повторенный вопрос о том, что получится при подстановке $x=1$ в его запись $F(x)=\int\limits_a^xf(x)dx$, и какой это будет иметь смысл.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1102363 писал(а):

И он категорически игнорирует заданный ещё на первой странице и далее неоднократно повторенный вопрос
о том, что получится при подстановке $x=1$ в его запись $F(x)=\int\limits_a^xf(x)dx$, и какой это будет иметь смысл.

Ну, справедливости ради надо сказать, что это не такой уж аргумент. Что, например, получится при подстановке $x=1$ в запись $(x^2)^\prime=2x$? Хотя, "с третьей стороны", на это можно возразить, что штрих для производной - это сокращённая и несовершенная запись, а на самом деле стоило бы писать $(x^2)^\prime_x=2x$ или $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$, и тогда аргумент не проходит. Хотя и здесь тоже можно поспорить, проходит или не проходит) только вряд ли в этом есть какой-то смысл.

Тем не менее, другие приведённые в теме аргументы в сумме своей однозначно говорят против записи ТС. И мне тоже кажется, что ТС упорно игнорирует всё, что ему говорят.

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1102382 писал(а):

Что, например, получится при подстановке $x=1$ в запись $(x^2)^\prime=2x$? Хотя, "с третьей стороны", на это можно возразить, что штрих для производной - это сокращённая и несовершенная запись, а на самом деле стоило бы писать $(x^2)^\prime_x=2x$ или $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$, и тогда аргумент не проходит. Хотя и здесь тоже можно поспорить, проходит или не проходит) только вряд ли в этом есть какой-то смысл.

Наверно, есть, потому что сокращение там в другом: $(x^2)'$ или $\frac d{dx}(x^2)$ — это всё сокращения от $(t\mapsto t^2)'(x)$. А запись $\frac{d}{dx}(x^2)$ с точки зрения невозможности просто написать правильную замену не лучше $(x^2)'$ — везде иксы связаны (что сразу видно по полной записи). А с этими остаётся только приписывать $\big|_2$ или $\big|_{x=2}$.

[Mikhail_K]

Тем не менее, запись $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$ мне таким уж сокращением не кажется. Пусть я и не могу подставить туда $x=1$, но могу, например, подставить $x=t^2$: тогда получится

$$ \frac{d}{dx}(x^2)=\frac{d}{d(t^2)}(t^4)=\frac{d(t^4)}{d(t^2)}=\frac{4t^3dt}{2tdt}=2t^2=2x. $$

Разумеется, можно подставить и какую-нибудь другую функцию, и тоже всё получится - что легко проверяется. Что же касается подстановки $x=1$, то получается

$$ \frac{d(1^2)}{d1}=2; $$

$$ \frac{0}{0}=2, $$

что не так уж и неверно - просто неопределённость $0/0$, которая может быть равна чему угодно, в том числе и $2$.

... честно говоря, резона писать $(t\mapsto t^2)^\prime (x)=2x$ я не вижу никакого, даже при желании максимальной точности.

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1102399 писал(а):

... честно говоря, резона писать $(t\mapsto t^2)^\prime (x)=2x$ я не вижу никакого, даже при желании максимальной точности.

Я не говорил, что надо так писать. Но если хочется прозрачной подстановки, писать можно только что-то эквивалентное этому.

[Dan B-Yallay]

Mikhail_K в сообщении #1102382 писал(а):

Ну, справедливости ради надо сказать, что это не такой уж аргумент. Что, например, получится при подстановке $x=1$ в запись $(x^2)^\prime=2x$?

Не знаю как сейчас, но когда учили нас, именно такие примеры приводили при обьяснении, почему нельзя подставлять численное значение под знак производной. Сначала надо получить символьное выражение $2x$, а уж затем.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1102361 писал(а):

А ещё можно использовать индексы де Брёйна (de Brujin)

Цитата:

О книгах Жордана говорили, что если ему нужно было ввести четыре аналогичные или родственные величины (такие, как, например, $a,b,c,d$), то они у него получали обозначения $a,M'_3,\varepsilon_2,\Pi''_{1,2}.$

(Литлвуд. Математическая смесь. Гл. "Недоразумения и т. п.".)