Экстремум функции 3-х переменных

[dmfilipenko]

Господа, помогите пожалуйста понять, дано:
$\[U(x,y,z) = x^2 + y^2 +z^2 + 2xy-xz+yz+x+2y+z\]$

Я нахожу производные первого порядка:
$f'_{x}=2x+2y-z+1\\ f'_{y}=2y+2x+z+2\\ f'_{z}=2z-x+y+1$\\

Нахожу производные второго порядка:
\\$f'_{xx}=2\\ f'_{yy}=2\\ f'_{zz}=2\\ f'_{xy}=2\\ f'_{yz}=1\\ f'_{zx}=-1$

Решаю систему уравнений:
$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x+2y-z+1=0 \\ 2y+2x+z+2=0 \\ 2z-x+y+1=0 \\ \end{array} \right.$\\

$x=-3/8 \\y=-3/8 \\z=-1/2 $

Тоесть, в точке $A(-3/8, -3/8, -1/2)$ или минимум или максимум.

Далее, за критерием Сильвестра, нахожу миноры разных порядков:
$\begin{bmatrix} 2, 2,-1 \\ 2, 2, 1 \\ -1, 1, 2 \end{bmatrix}$

$\Delta_{1}=2\\\Delta_{2}=0\\\Delta_{3}=-32$
Так вот, за критерием Сильвестра, не понятно, является матрица отрицательно определенной или положительно определенной, что делать в таком случае?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Поправьте формулы, пож-ста: доллар в начале, доллар в конце и никаких в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

dmfilipenko в сообщении #1100339 писал(а):

Так вот, за критерием Сильвестра, не понятно, является матрица отрицательно определенной или положительно определенной, что делать в таком случае?

Критерий Сильвестра - достаточное условие знако(не)определенности квадратичной формы. В данном случае в роли квадратичной формы выступает квадратичная форма второго дифференциала. Наиболее простой способ выяснить, является ли эта квадратичная форма знакоопределенной в данном случае - это приведение к каноническому виду. По крайней мере, знаков собственных значений должно хватить.

[dmfilipenko]

Otta в сообщении #1100350 писал(а):

dmfilipenko в сообщении #1100339 писал(а):

Так вот, за критерием Сильвестра, не понятно, является матрица отрицательно определенной или положительно определенной, что делать в таком случае?

Критерий Сильвестра - достаточное условие знако(не)определенности квадратичной формы. В данном случае в роли квадратичной формы выступает квадратичная форма второго дифференциала. Наиболее простой способ выяснить, является ли эта квадратичная форма знакоопределенной в данном случае - это приведение к каноническому виду. По крайней мере, знаков собственных значений должно хватить.

Так вот, я нашел все миноры.

Цитата:

Эта форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все его главные миноры положительны.

Цитата:

Форма является отрицательно определенной, если ее главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного

Миноры не являются ни положительными и у них знаки не чередуются, в таком случае критерий Сильвестра не применим?
А если применим, то это какой-то частный случай?

[Otta]

Вообще пост был совсем о другом, как-то странно Вы его поняли. Ну да ладно, нравится Вам критерий Сильвестра. Что мешает Вам его применить? Является ли квадратичная форма (по критерию) положительно (неотрицательно) определенной? А отрицательно (неположительно) определенной? Какой она является? Какой вывод из этого следует - в Вашей задаче?

Критерий Сильвестра не запрещает нулевые миноры, с нулевыми минорами может получиться полуопределенная квадратичная форма, а второй дифференциал с такой формой иногда бывает в точках экстремума (нестрогого), а иногда - нет. То есть не работает не критерий Сильвестра, а достаточное условие экстремума в терминах второй производной.

Но совсем необязательно получается именно полуопределенная квадратичная форма. Проще всего - мне лично - смотреть все-таки на канонический вид кв. формы, чем анализировать результаты критерия Сильвестра в "сомнительных" случаях.

(Оффтоп)

Но мне кажется, Вы не совсем понимаете, о чем я. Да?

[dmfilipenko]

Otta в сообщении #1100359 писал(а):

Но мне кажется, Вы не совсем понимаете, о чем я. Да?

Да:(

[Otta]

:)

Otta в сообщении #1100359 писал(а):

Является ли квадратичная форма (по критерию) положительно (неотрицательно) определенной? А отрицательно (неположительно) определенной? Какой она является? Какой вывод из этого следует - в Вашей задаче?

Тогда читайте это, критерий Сильвестра изучайте параллельно, попробуйте ответить на вопросы - по одному, дальше видно будет.

[мат-ламер]

dmfilipenko в сообщении #1100339 писал(а):

Тоесть, в точке $A(-3/8, -3/8, -1/2)$ или минимум или максимум.

Не факт.

[dmfilipenko]

мат-ламер в сообщении #1100372 писал(а):

dmfilipenko в сообщении #1100339 писал(а):

Тоесть, в точке $A(-3/8, -3/8, -1/2)$ или минимум или максимум.

Не факт.

Тогда помогите пожалуйста понять, что в этой точке?

[мат-ламер]

Otta в сообщении #1100359 писал(а):

Является ли квадратичная форма (по критерию) положительно (неотрицательно) определенной? А отрицательно (неположительно) определенной?

На эти вопросы можете ответить?

[dmfilipenko]

мат-ламер в сообщении #1100376 писал(а):

Otta в сообщении #1100359 писал(а):

Является ли квадратичная форма (по критерию) положительно (неотрицательно) определенной? А отрицательно (неположительно) определенной?

На эти вопросы можете ответить?

Функция не является положительной и не является отрицательной, правильно?

[мат-ламер]

dmfilipenko в сообщении #1100377 писал(а):

Функция не является положительной и не является отрицательной, правильно?

Абсолютно правильно. Отсюда возникает подозрение, что в исследуемой точке нет ни максимума ни минимума. Как доказать? В некоторых книгах критерий Сильвестра формулируют кратко, но в некоторых есть его продолжение, в котором говорится, что , а вот если выполняются такие вот условия, то совершенно точно в исследуемой точке не будет ни максимума ни минимума. Вам критерий Сильвестра как давали ?

[Otta]

Критерий Сильвестра формулируют в книгах по алгебре, которым дела нет ни до минимума, ни до максимума.

dmfilipenko в сообщении #1100377 писал(а):

Функция не является положительной и не является отрицательной, правильно?

Какая функция?

[мат-ламер]

Стоп. Ерунду написал. Имеется не продолжение критерия Сильвестра, а продолжение критерия локального минимума или максимума дважды дифференцируемой функции, в котором говорится, что при таких вот условиях на матрицу вторых производных совершенно точно не будет ни максимума ни минимума.

-- Чт фев 18, 2016 15:44:07 --

Otta в сообщении #1100381 писал(а):

Критерий Сильвестра формулируют в книгах по алгебре, которым дела нет ни до минимума, ни до максимума.

dmfilipenko в сообщении #1100377 писал(а):

Функция не является положительной и не является отрицательной, правильно?

Какая функция?

Я уже сообразил, что написал неточность и как мог исправил её в предыдущем посте.