2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение17.02.2013, 18:08 


17/12/12
91
Здравствуйте! У меня есть следующая задача:

Случайная величина имеет строго положительную плотность $f$. Посчитать $E(\xi|\sin\xi), E(\xi|\xi^2),E(\xi| |\xi|)$.

У меня есть очень непонятно написанное решение такой задачи для $E(\xi|\sin\xi)$, когда $\xi$ равномерно распределена на $[0,\pi]$.:
$m(y) =E[\xi|\sin\xi=y]=E[\xi|\sin\xi]\mathbb{I}_{\sin\xi=y}(\omega)=\frac{E(\xi\mathbb{I}_{\sin\xi=y})}{P(\sin\xi=y)}$(1)

$\sin\xi=y$ на $[0,\pi]$: $\xi=\begin{cases}&\arcsin{y} \\&-\arcsin{y} + \pi \end{cases}$
далее
$E(\xi\mathbb{I}_{\sin\xi=y})= \frac{\arcsin{y}\frac{dx}{\pi}+(-\arcsin{y}+\pi)\frac{dx}{\pi}}{\frac{2dx}{\pi}}=\frac{\pi}{2}$.
Я так подозреваю, внизу - вероятность, это описка и это сама формула (1) для $m(y)$.

Это все смахивает на "инженерный" подход, описанный здесь: post51235.html#p51235

Может кто-то мне объяснить подробнее, что происходит? Как распостранить это решение на числовую ось?
Формулу (1) я доказал.
Я знаю для умо формулу через совместную плотность, с которой выходит очень трудно, и формулу для измеримой функции $E(g(\xi)|\xi)=g(\xi)$, но в случае с арксинусом $+2\pi k$ что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение17.02.2013, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Никакие формулы для УМО через совместные плотности тут помочь не могут в принципе: у величин $\xi$ и $g(\xi)$ нет совместной плотности относительно лебеговой меры.

Да, это сама формула (1), в знаменателе вероятность, вот только вместо $dx$ должно стоять $dy$.

Грубо говоря, так: $\mathsf E(\xi \,|\,\sin\xi)=g(\xi)$ п.н., где
$$g(y)=\mathsf E(\xi\,|\,\sin\xi=y)=\frac{\mathsf E(\xi\cdot I(\sin\xi\in dy))}{\mathsf P(\sin\xi \in dy)}.$$
Здесь $\mathsf P(\sin\xi\in dy)=f_{\sin\xi}(y)\,dy$, а числитель $\mathsf E(\xi\cdot I(\sin\xi\in dy))$ есть сумма всех возможных значений $\xi=a_k$, при которых $\sin\xi=y$, умноженных на "вероятности" этих значений $f_\xi(a_k)\,dy$. Если совсем грубо, при фиксации $\sin\xi=y$ распределение величины $\xi$ становится дискретным: $\xi$ может принимать лишь значения $a_k$, синусы которых равны $y$, с вероятностями, пропорциональными исходным плотностям в этих точках. Коэффициент пропорциональности - это сумма таковых вероятностей, просто для нормировки. В случае равномерного распределения условное распределение $\xi$ при фиксированном $\sin\xi=y$ было двухточечным, с вероятностями по одной второй: $\frac{1/\pi}{1/\pi+1/\pi}$.

Для произвольного абсолютно непрерывного распределения (зачем положительного - не знаю)
$$\mathsf E(\xi\cdot I(\sin\xi\in dy)) = \sum\limits_{k} \bigl((\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + (\pi-\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)\,dy,$$
$$\mathsf P(\sin\xi\in dy)=f_{\sin\xi}(y)\,dy = \sum\limits_{k} \bigl(f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)\,dy,$$
и их отношение
$$g(y)=\dfrac{\sum\limits_{k} \bigl((\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + (\pi-\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)}{\sum\limits_{k} \bigl(f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)}.
$$
Ну а дальше, почти наверное, если обозначить $\eta=\arcsin\sin\xi$, то
$$\mathsf E(\xi\,|\,\sin\xi)= g(\sin\xi) = \dfrac{\sum\limits_{k} \bigl((\eta+2\pi k)f_{\xi}(\eta+2\pi k) + (\pi-\eta+2\pi k)f_{\xi}(\pi-\eta+2\pi k)\bigr)}{\sum\limits_{k} \bigl(f_{\xi}(\eta+2\pi k) + f_{\xi}(\pi-\eta+2\pi k)\bigr)}.
$$

-- Пн фев 18, 2013 00:52:46 --

(Оффтоп)

P.S. Моя запись $\xi\in dy$ и Ваша $\xi=y$ обозначают одно и то же, под второй всегда разумеется первая, и именно вторую и пишут обычно в условных вероятностях/матожиданиях, просто она мне не нравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение17.02.2013, 21:20 


17/12/12
91
Спасибо вам большое!
Мне нужно немного подумать над этим, я попробую теперь посчитать два других УМО, предлагаемых в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение18.02.2013, 03:36 


17/12/12
91
Тогда в двух следующих случаях для $E(\xi|\xi^2),E(\xi| |\xi|)$:

Чисто интуитивно, должен выходить 0, для $y\geq 0$ и не существует для $y<0$, так, как имеем симметричное распределение для каждого y.
Есть даже подобная тема topic56769.html с Вашим участием:)

Но у нас неизвестно какая плотность:

$\xi^2=y$, $y \in (0;+\infty)$, $\xi=\begin{cases}&-\sqrt{y}, \\ &\sqrt{y}. \end{cases}$
.
$g(y) = \frac{-\sqrt{y}f(-\sqrt{y})dy+\sqrt{y}f(\sqrt{y})dy}{f(-\sqrt{y})dy+f(\sqrt{y})dy} =\frac{-\sqrt{y}f(-\sqrt{y})+\sqrt{y}f(\sqrt{y})}{f(-\sqrt{y})+f(\sqrt{y})} $;
Плотность неотрицательна. потому внизу какое-то число.
В случае симметричного распределения у нас 0.
Что касается нулевой плотности - УМО определено с точностью до п.н., т.е. до значений на множествах с вероятностью ноль - там его можно положить произвольно.
Аналогично для $E(\xi| |\xi|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение18.02.2013, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Вот есть у меня ощущение, что вместо $f_\xi(\sqrt{y})\,dy$ в знаменателе должно стоять $(\sqrt{y})'\,f_\xi(\sqrt{y})\,dy$. И соответственно, в числителе. И точно так же с синусом выше - производные от арксинусов. Там я явно прогнала с плотностями. Они, конечно, сокращаются в дроби, но тем не менее. Во всяком случае в знаменателе с гарантией $\mathsf P(\xi^2\in dy)=f_{\xi^2}(y)\,dy = (f_\xi(\sqrt y)+f_\xi(-\sqrt y))\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy$.

Вообще можно попробовать действовать строго по определению, без шаманства.

$\mathsf E(\xi|\xi^2)=g(\xi^2)$ п.н., где $g(t)$ - борелевская функция такая, что для любого множества $A$ из сигма-алгебры, порождённой $\xi^2$, имеет место равенство $\mathsf E(\xi I(A))=\mathsf E(g(\xi^2)I(A))$. Понятно, что в качестве множеств $A$ достаточно брать прообразы симметричных интервалов $(-x,x)$. Тогда для всякого $x>0$
$$\mathsf E(\xi I(\xi\in(-x,x))) = \int\limits_{-x}^x t f_\xi(t)\,dt = \int\limits_0^{x^2}\frac12(f_\xi(\sqrt y)-f_\xi(-\sqrt y))\,dy,$$
что получилось заменой $t=\pm \sqrt y$ в интегралах по $(-x,0)$ и $(0,x)$.
С другой стороны,
$$\mathsf E(g(\xi^2) I(\xi\in(-x,x))) = \int\limits_{-x}^x g(t^2) f_\xi(t)\,dt=\int\limits_0^{x^2}g(y)\frac{f_\xi(\sqrt y)+f_\xi(-\sqrt y)}{2\sqrt y}\,dy.$$
При каждом положительном $x$ эти интегралы совпадают, тогда п.в. совпадают подынтегральные функции, откуда п.в.
$$g(y) = \frac{\sqrt y (f_\xi(\sqrt y)-f_\xi(-\sqrt y))}{f_\xi(\sqrt y)+f_\xi(-\sqrt y)}. 
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение18.02.2013, 23:17 


17/12/12
91
Предмет, к счастью, мне сегодня удалось сдать. Извините, что не отвечал, надо было немного выспаться((.
Я пробую переделать по определению для синуса, а точка в этой задаче для меня будет поставлена в четверг, когда я их буду предъявлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение22.01.2016, 00:01 


17/03/13
18
Объясните пожалуйста по определению условного математического ожидания как решали, непонятно решение. Что такое $dx$ и $dy$ непонятно и почему делим на вероятность $P(\sin\xi\in dy)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное матожидание, "инженерный" метод.
Сообщение31.01.2016, 06:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
galachel в сообщении #1093059 писал(а):
Объясните пожалуйста по определению условного математического ожидания как решали, непонятно решение.

Приведите определение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group