Условное матожидание, "инженерный" метод.

[Slumber]

Здравствуйте! У меня есть следующая задача:

Случайная величина имеет строго положительную плотность $f$. Посчитать $E(\xi|\sin\xi), E(\xi|\xi^2),E(\xi| |\xi|)$.

У меня есть очень непонятно написанное решение такой задачи для $E(\xi|\sin\xi)$, когда $\xi$ равномерно распределена на $[0,\pi]$.:
$m(y) =E[\xi|\sin\xi=y]=E[\xi|\sin\xi]\mathbb{I}_{\sin\xi=y}(\omega)=\frac{E(\xi\mathbb{I}_{\sin\xi=y})}{P(\sin\xi=y)}$(1)

$\sin\xi=y$ на $[0,\pi]$: $\xi=\begin{cases}&\arcsin{y} \\&-\arcsin{y} + \pi \end{cases}$
далее
$E(\xi\mathbb{I}_{\sin\xi=y})= \frac{\arcsin{y}\frac{dx}{\pi}+(-\arcsin{y}+\pi)\frac{dx}{\pi}}{\frac{2dx}{\pi}}=\frac{\pi}{2}$.
Я так подозреваю, внизу - вероятность, это описка и это сама формула (1) для $m(y)$.

Это все смахивает на "инженерный" подход, описанный здесь: post51235.html#p51235

Может кто-то мне объяснить подробнее, что происходит? Как распостранить это решение на числовую ось?
Формулу (1) я доказал.
Я знаю для умо формулу через совместную плотность, с которой выходит очень трудно, и формулу для измеримой функции $E(g(\xi)|\xi)=g(\xi)$, но в случае с арксинусом $+2\pi k$ что делать?

[--mS--]

Никакие формулы для УМО через совместные плотности тут помочь не могут в принципе: у величин $\xi$ и $g(\xi)$ нет совместной плотности относительно лебеговой меры.

Да, это сама формула (1), в знаменателе вероятность, вот только вместо $dx$ должно стоять $dy$.

Грубо говоря, так: $\mathsf E(\xi \,|\,\sin\xi)=g(\xi)$ п.н., где

$$g(y)=\mathsf E(\xi\,|\,\sin\xi=y)=\frac{\mathsf E(\xi\cdot I(\sin\xi\in dy))}{\mathsf P(\sin\xi \in dy)}.$$

Здесь $\mathsf P(\sin\xi\in dy)=f_{\sin\xi}(y)\,dy$, а числитель $\mathsf E(\xi\cdot I(\sin\xi\in dy))$ есть сумма всех возможных значений $\xi=a_k$, при которых $\sin\xi=y$, умноженных на "вероятности" этих значений $f_\xi(a_k)\,dy$. Если совсем грубо, при фиксации $\sin\xi=y$ распределение величины $\xi$ становится дискретным: $\xi$ может принимать лишь значения $a_k$, синусы которых равны $y$, с вероятностями, пропорциональными исходным плотностям в этих точках. Коэффициент пропорциональности - это сумма таковых вероятностей, просто для нормировки. В случае равномерного распределения условное распределение $\xi$ при фиксированном $\sin\xi=y$ было двухточечным, с вероятностями по одной второй: $\frac{1/\pi}{1/\pi+1/\pi}$.

Для произвольного абсолютно непрерывного распределения (зачем положительного - не знаю)

$$\mathsf E(\xi\cdot I(\sin\xi\in dy)) = \sum\limits_{k} \bigl((\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + (\pi-\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)\,dy,$$

$$\mathsf P(\sin\xi\in dy)=f_{\sin\xi}(y)\,dy = \sum\limits_{k} \bigl(f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)\,dy,$$

и их отношение

$$g(y)=\dfrac{\sum\limits_{k} \bigl((\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + (\pi-\arcsin y+2\pi k)f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)}{\sum\limits_{k} \bigl(f_{\xi}(\arcsin y+2\pi k) + f_{\xi}(\pi-\arcsin y+2\pi k)\bigr)}. $$

Ну а дальше, почти наверное, если обозначить $\eta=\arcsin\sin\xi$, то

$$\mathsf E(\xi\,|\,\sin\xi)= g(\sin\xi) = \dfrac{\sum\limits_{k} \bigl((\eta+2\pi k)f_{\xi}(\eta+2\pi k) + (\pi-\eta+2\pi k)f_{\xi}(\pi-\eta+2\pi k)\bigr)}{\sum\limits_{k} \bigl(f_{\xi}(\eta+2\pi k) + f_{\xi}(\pi-\eta+2\pi k)\bigr)}. $$

-- Пн фев 18, 2013 00:52:46 --

(Оффтоп)

P.S. Моя запись $\xi\in dy$ и Ваша $\xi=y$ обозначают одно и то же, под второй всегда разумеется первая, и именно вторую и пишут обычно в условных вероятностях/матожиданиях, просто она мне не нравится.

[Slumber]

Спасибо вам большое!
Мне нужно немного подумать над этим, я попробую теперь посчитать два других УМО, предлагаемых в задаче.

[Slumber]

Тогда в двух следующих случаях для $E(\xi|\xi^2),E(\xi| |\xi|)$:

Чисто интуитивно, должен выходить 0, для $y\geq 0$ и не существует для $y<0$, так, как имеем симметричное распределение для каждого y.
Есть даже подобная тема topic56769.html с Вашим участием:)

Но у нас неизвестно какая плотность:

$\xi^2=y$, $y \in (0;+\infty)$, $\xi=\begin{cases}&-\sqrt{y}, \\ &\sqrt{y}. \end{cases}$
.
$g(y) = \frac{-\sqrt{y}f(-\sqrt{y})dy+\sqrt{y}f(\sqrt{y})dy}{f(-\sqrt{y})dy+f(\sqrt{y})dy} =\frac{-\sqrt{y}f(-\sqrt{y})+\sqrt{y}f(\sqrt{y})}{f(-\sqrt{y})+f(\sqrt{y})} $;
Плотность неотрицательна. потому внизу какое-то число.
В случае симметричного распределения у нас 0.
Что касается нулевой плотности - УМО определено с точностью до п.н., т.е. до значений на множествах с вероятностью ноль - там его можно положить произвольно.
Аналогично для $E(\xi| |\xi|)$.

[--mS--]

Вот есть у меня ощущение, что вместо $f_\xi(\sqrt{y})\,dy$ в знаменателе должно стоять $(\sqrt{y})'\,f_\xi(\sqrt{y})\,dy$. И соответственно, в числителе. И точно так же с синусом выше - производные от арксинусов. Там я явно прогнала с плотностями. Они, конечно, сокращаются в дроби, но тем не менее. Во всяком случае в знаменателе с гарантией $\mathsf P(\xi^2\in dy)=f_{\xi^2}(y)\,dy = (f_\xi(\sqrt y)+f_\xi(-\sqrt y))\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy$.

Вообще можно попробовать действовать строго по определению, без шаманства.

$\mathsf E(\xi|\xi^2)=g(\xi^2)$ п.н., где $g(t)$ - борелевская функция такая, что для любого множества $A$ из сигма-алгебры, порождённой $\xi^2$, имеет место равенство $\mathsf E(\xi I(A))=\mathsf E(g(\xi^2)I(A))$. Понятно, что в качестве множеств $A$ достаточно брать прообразы симметричных интервалов $(-x,x)$. Тогда для всякого $x>0$

$$\mathsf E(\xi I(\xi\in(-x,x))) = \int\limits_{-x}^x t f_\xi(t)\,dt = \int\limits_0^{x^2}\frac12(f_\xi(\sqrt y)-f_\xi(-\sqrt y))\,dy,$$

что получилось заменой $t=\pm \sqrt y$ в интегралах по $(-x,0)$ и $(0,x)$.
С другой стороны,

$$\mathsf E(g(\xi^2) I(\xi\in(-x,x))) = \int\limits_{-x}^x g(t^2) f_\xi(t)\,dt=\int\limits_0^{x^2}g(y)\frac{f_\xi(\sqrt y)+f_\xi(-\sqrt y)}{2\sqrt y}\,dy.$$

При каждом положительном $x$ эти интегралы совпадают, тогда п.в. совпадают подынтегральные функции, откуда п.в.

$$g(y) = \frac{\sqrt y (f_\xi(\sqrt y)-f_\xi(-\sqrt y))}{f_\xi(\sqrt y)+f_\xi(-\sqrt y)}. $$

[Slumber]

Предмет, к счастью, мне сегодня удалось сдать. Извините, что не отвечал, надо было немного выспаться((.
Я пробую переделать по определению для синуса, а точка в этой задаче для меня будет поставлена в четверг, когда я их буду предъявлять.

[galachel]

Объясните пожалуйста по определению условного математического ожидания как решали, непонятно решение. Что такое $dx$ и $dy$ непонятно и почему делим на вероятность $P(\sin\xi\in dy)$

[--mS--]

galachel в сообщении #1093059 писал(а):

Объясните пожалуйста по определению условного математического ожидания как решали, непонятно решение.

Приведите определение.