Зонная структура и зона Брюллиэна

[mozhik]

Добрый день!
После изучения первых глав ФТТ появились некоторые вопросы:

1) В случае простой кубической решетки с постоянной а, будут 3 примитивных векторов b1,b2,b3 (линейно независимых) которые описывают решетку. Ну и по известным формулам находим векторов обратной решетки c1,c2,c3, т.е будет опять бесконечный "обратный" кристалл. Так, как и в случае прямой решетки, можем определять ячейку Вигнера-Зейца в обратной пространстве, и как я понимаю, это делается чтобы описать что происходит вокруг отдельного атома в кристалле, поскольку ячейка Вигнера-Зейца эта та минимальная ячейка которая заполняет все обратное пространство без "пустых" мест (?). Это могу делать для любых решеток Бравэ. А вот когда ячейка с базисом (как в случае графена - honeycomb lattice), что делать c базисными векторами? Имею ввиду, допустим 2 вектора определяют a1,a2 решетку, а вектор t базисный элемент. Как определять векторы обратной решетки?

В случае графена, из ячейки Вигнера - Зейца в обраном пространстве видно, что обратная решетка гексагональная как и прямая решетка. А куда пропали базисные векторы? или они вообще не влияют?

2) Теперь по поводу ячейки Вигнера - Зейца (В.З) в обратном пространстве = Зоны Брюллиэна (З.Б). Допустим имеем границентрированную прямую решетку. На рис ниже показан вид З.Б и зонная структура.

Вопрос 1: Мы выбираем точки Г,K,X,L,U потому что объем заданная ими объем может заполнять всю ячейку В.З? Вопрос 2: Что означают эти линии, физический смысл какой (Имеется ввиду что означает допустим минимум самой нижней линии в точке Г? и самая непонятная часть: что означает E(k) в физическом смысле?
И почему их несколько? Как я понимаю, до Е=0 эВ эти все линии валентной зоны? А дальше линии зоны проводимости? Что может означать пересечение линий?
=====================================
Спасибо,
С уважением,

[Red_Herring]

Если есть периодическая решетка в $n$-мерном пространстве, то есть n "образующих векторов" $e_1$, … , $e_n$. Эти вектора определяются неоднозначно: можно например заменить их на $f_1$,…, $f_n$ , т.ч. $f_j=\sum_k \alpha_{jk}e_k$ где матрица $(\alpha_{jk})$ целочисленная, с определителем равным $\pm 1$.

Т.е. базисные вектора получаются только в случае кубической решётки, и даже в этом случае можно выбрать и другие вектора, например $e_1,e_2+e_1, e_3-e_2+5e_1$.

После того, как выбраны $e_1$, … , $e_n$ определены однозначно
1) ячейка
2) дуальные вектора $ e'_j: e'_j\cdot e_k=2\pi \delta_{jk}$
3) дуальная ячейка

[Munin]

mozhik в сообщении #1091812 писал(а):

Так, как и в случае прямой решетки, можем определять ячейку Вигнера-Зейца в обратной пространстве, и как я понимаю, это делается чтобы описать что происходит вокруг отдельного атома в кристалле

Нет. В обратном пространстве "близко" и "далеко" меняются по смыслу местами. То, что находится в одной ячейке в обратном пространстве - в прямом пространстве отвечает длинным волнам, имеющим длину больше периода решётки. Это - не то, что происходит вокруг отдельного атома, а наоборот, крупномасштабные явления, для которых отдельные атомы - слишком мелкие и незаметные. В пределе - волны масштаба всего кристалла.

mozhik в сообщении #1091812 писал(а):

Допустим имеем границентрированную прямую решетку.

ГранЕцентрированную. "Гране-центрированную".

mozhik в сообщении #1091812 писал(а):

Вопрос 1: Мы выбираем точки Г,K,X,L,U потому что объем заданная ими объем может заполнять всю ячейку В.З?

Не совсем. Конечно, целиком изобразить весь объём на одной прямой линии мы не можем. Но выбор этих точек позволяет посмотреть, что творится на линиях между этими точками. Посмотрите на подпись к графику слева: это $\mathrm{LA\Gamma \Delta XU,K\Sigma\Gamma}.$ То есть, проведя в объёме эти линии, мы примерно представляем, а что творится во всём объёме. Особенно с учётом того, что графики идут довольно плавно, и мы можем представлять себе, что в остальных промежуточных точках они образуют "нечто среднее". (Конечно, реальные расчёты на компьютерах могут давать и точки внутри объёма, но как их визуализовать? Вопрос относится только к удобству изображения этих результатов на графике, для человеческого глаза.)

mozhik в сообщении #1091812 писал(а):

Вопрос 2: Что означают эти линии, физический смысл какой (Имеется ввиду что означает допустим минимум самой нижней линии в точке Г? и самая непонятная часть: что означает E(k) в физическом смысле?
И почему их несколько? Как я понимаю, до Е=0 эВ эти все линии валентной зоны? А дальше линии зоны проводимости? Что может означать пересечение линий?

Это всё линии уровней энергии. Они либо заполнены электронами (линии ниже $E=0$), либо пусты (выше), то есть - это линии, соответствующие энергетическим зонам валентной, проводимости, а там, где между ними перерыв - там запрещённая зона. Отсчитывать эти линии удобно от $E=0,$ и считать, что отдельные частицы, находящиеся выше этого уровня, - электроны (проводимости), а ниже - дырки.

Но на графике зон - на одномерном графике - указывается только энергия. А здесь указывается по сути два параметра: энергия - по вертикали, и волновой вектор (квазиимпульс) - по горизонтали. То есть, эти графики позволяют отвечать на вопрос, а какой квазиимпульс имеет электрон, имеющий такую-то энергию и находящийся на такой-то ветке (в такой-то энергетической зоне). Кроме того, можно выяснить, какая у этого электрона будет фазовая скорость ($\tfrac{\,\omega\,}{k}$), групповая скорость ($\tfrac{\,d\omega\,}{dk}$), эффективная масса ($\bigl(\tfrac{d^2\omega}{dk^2}\bigr)^{-1}$). Там, где линия выпукла вверх, эффективная масса отрицательна, и положительной становится соответствующая дырочная эффективная масса.

Называются эти линии дисперсионными графиками (зависимостями, соотношениями), ветвями, и т. п.

Пересечение линий означает их вырождение в какой-то точке - или как здесь, даже больше чем в точке (на протяжении всех отрезков $\mathrm{LA\Gamma \Delta X}$ двукратно вырождена третья снизу ветка, что можно увидеть по тому, что на отрезках $\mathrm{XU,K\Sigma\Gamma}$ она всё-таки расщепляется).

[Red_Herring]

Помните, что квазиимпульс—это вектор т.е. у него 3 координаты и поэтому производные должны быть частными (т.е. групповая скорость—это вектор, а эффективная масса—тензор 2го ранга (матрица), а фазовая скорость вообще не определена.

[Munin]

Ну, вы сразу в подробности лезете... :-)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1091838 писал(а):

Ну, вы сразу в подробности лезете...

Так ведь ТС сразу начал с трёхмерного случая и по-крайней мере часть вопросов у него неодномерные по существу.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы и обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.