Дифференцирование скалярных функций (1.1.2)

[1r0pb]

Добрый день.

2. Докажите, что из непрерывности по $x$ производной Гато следует дифференцируемость.

Мое "творчество": )

(Оффтоп)

Из теоремы о среднем:

$$f(x+y) = f(x)+(\bigtriangledown f(x+\theta y),y),\ 0 \leq \theta \leq 1.$$

Иначе говоря

$$f(x+y)-f(x)-(\bigtriangledown f(x),y) =(\bigtriangledown f(x+\theta y),y)-(\bigtriangledown f(x),y)=f'(x+\theta y;y)-f'(x;y),\ 0 \leq \theta \leq 1.$$

Таким образом

$$ \exists \delta >0 \ \forall \varepsilon >0:\ \lVert \theta y \rVert <\delta \Rightarrow \lVert f(x+y)-f(x)-(\bigtriangledown f(x),y) \rVert = \lVert f'(x+\theta y;y)-f'(x;y) \rVert<\varepsilon \lVert y \rVert.$$

[1r0pb]

А, вопроса и не задал в итоге. У меня правильное решение?

[мат-ламер]

1r0pb в сообщении #1086520 писал(а):

Из теоремы о среднем:

$$f(x+y) = f(x)+(\bigtriangledown f(x+\theta y),y),\ 0 \leq \theta \leq 1.$$

Тут есть нюанс. Если функция $f(x)$ векторная, то теорема о среднем для неё неверна. Однако разность значений функций мы можем оценить сверху.

[1r0pb]

мат-ламер, да, но в названии темы указано про скалярные. Про векторные сейчас вот читаю.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

1r0pb в сообщении #1086859 писал(а):

мат-ламер, да, но в названии темы указано про скалярные.

На название темы внимание не обратил. Однако теорема верна и для векторных функций. И почти также доказывается. Только вместо равенства надо записать нужное неравенство.

[1r0pb]

мат-ламер, а про какое равенство вы говорите?

[popolznev]

1r0pb, вот это равенство:

$$f(x+y) = f(x)+(\bigtriangledown f(x+\theta y),y).$$

Если $f$ принимает значения в пространстве размерности выше 1 (а область определения может быть даже и одномерной), то средней точки $x+\theta y$, чтобы выполнялось это равенство, может и не найтись.

[1r0pb]

popolznev, в векторном случае? Это понял, да.
Спасибо откликнувшимся!

[popolznev]

Ну да, в векторном. В векторнозначном. Хотя мне кажется, здесь уместнее говорить об одномерности-многомерности области значений.

А если вернуться к вашему исходному рассуждению, то, во-1, у вас в последней строке кванторы попутаны местами, а во-2, у меня есть вопрос по обозначениям: каков точный смысл штриха и значка $\nabla$?

[1r0pb]

popolznev в сообщении #1086924 писал(а):

А если вернуться к вашему исходному рассуждению, то, во-1, у вас в последней строке кванторы попутаны местами, а во-2, у меня есть вопрос по обозначениям: каков точный смысл штриха и значка $\nabla$?

Эх, с кванторами опростоволосился... ( Под "штрихом" имелась в виду производная по Гато.

[popolznev]

1r0pb в сообщении #1086956 писал(а):

Под "штрихом" имелась в виду производная по Гато.

А набла тогда зачем?

[1r0pb]

popolznev в сообщении #1086961 писал(а):

А набла тогда зачем?

Если изначально правильно понял, то градиент. Может на книжку сослаться? Или Вас не устроит такой вариант?

[popolznev]

Я собирался узнать, как вы это понимаете, но можно и на книжку.

[1r0pb]

(Оффтоп)

popolznev, Поляк Б.Т. "Введение в оптимизацию".

Если будут проблемы со скачиванием, то пожалуйста - скину.

[popolznev]

1r0pb, заглянул я в книгу Поляка. У него градиент $\nabla f(x)$ и обычная производная (производная Фреше) $f'(x)$ --- одно и то же, а производная Гато обозначается $f'(x;y)$ (то есть если два аргумента --- это по Гато, а если один --- то по Фреше).