Изометрический изоморфизм

[Marty Lee]

$c_{0} $ - пространство последовательностей, сходящихся к нулю, $\left\lVert x \right\rVert = \max x_{k}\limits_{}$$.
В $c_{0} \times c_{0} $ введена норма $\left\lVert (x,y) \right\rVert = \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert $.
Нужно доказать, что $c_{0} \times c_{0} $ не изометрически изоморфно $c_{0} $.
Я пытался рассмотреть единичные вектора и их образы при изоморфизме, но как-то далеко это не зашло.

[mihailm]

А чем изометрический изоморфизм двух нормированных пространств отличается от просто изоморфизма?

[Marty Lee]

просто в задаче так написано, по сути это линейное отображение, которое является биекцией и сохраняет норму

[Brukvalub]

Попробуйте применить т. Мазура-Улама о линейности изометрического изоморфизма.

[Marty Lee]

К сожалению, не совсем понимаю, как это возможно сделать. На сколько я понял, теорема утверждает, что отображение будет линейным (аффиным преобразованием). Но линейность и так дана изначально. Возможно я не совсем осознаю что такое аффинное преобразование, либо у меня какая-то неправильная формулировка теоремы. Спасибо за совет. Пока поробую разобраться. Просто это одна из первых задач в задачнике, и есть такое ощущение, что она решается какими-то элементарными методами.

[Brukvalub]

Marty Lee в сообщении #1084873 писал(а):

Но линейность и так дана изначально.

Где линейность дана "изначально"?

[Marty Lee]

Marty Lee в сообщении #1084868 писал(а):

просто в задаче так написано, по сути это линейное отображение, которое является биекцией и сохраняет норму

Здесь дана

[Brukvalub]

Marty Lee в сообщении #1084876 писал(а):

Marty Lee в сообщении #1084868 писал(а):

просто в задаче так написано, по сути это линейное отображение, которое является биекцией и сохраняет норму

Здесь дана

Выходит, мужики-то не знают Мазур с Уламом не выучили к экзамену по функану определения изометрического изоморфизма и зря пыхтели...

[Marty Lee]

на самом деле программа курса очень сильно отличается на двух потоках (и это даже не моя задача ) и построена на совсем других вещах, теорема Улана-Мазура даже не упоминается . А задачи на семинарах на усмотрение семинариста, в результате лектор может одно читать, а семинарист задачки по другому давать

-- 23.12.2015, 00:58 --

Зато интеграл Курцвейля-Хенстока проходили Правда зачем, не понятно

[Narn]

Я рассмотрел крайние точки единичных шаров в этих двух пространствах, так доказать получается, и не слишком сложно. Может, можно и проще, конечно.

[Marty Lee]

А что не так с крайними точками (как я понимаю, это те, которые на границе)? Чем они отличаются в этих двух пространствах?

[Narn]

Крайняя точка --- это не просто точка на границе. Это точка, которая не является внутренней точкой никакого отрезка, целиком лежащего в нашем множестве (то есть в замкнутом единичном шаре). Грубо говоря --- вершина. Свойство, позволяющее отличить одно из ваших пространств от другого, такое: для каждой крайней точки $x$ в $c_0$ имеется единственная крайняя точка $y$, такая что $(x, y)$ лежит в открытом единичном шаре. Конечномерный аналог: единичный шар в $\ell_{\infty}$ норме --- это куб, крайние точки --- его вершины, если мы хотим "уйти внутрь куба, соединяя две вершины", то двигаться можно только по диагонали, иначе мы останемся на его поверхности.

[Marty Lee]

Спасибо . Но мне кажется что в $c_{0}$ нет крайних точек. Возьмем точку x на границе, тогда пусть последняя координата, равная 1 или -1 у x, стоит на m-ом месте, тогда если взять вектор y, у которого все координаты нулевые кроме m+1-ой, которая равна 1, то для маленьких по модулю $t$ : $x+t\ast y$ будет лежать в шаре. Причем t будет принимать и положительные и отрицательные значения, значит x будет внутренней точкой данного отрезка. Или я не прав?

[Narn]

Я невнимательно прочитал условие и решал для ограниченных последовательностей, а не для сходящихся к нулю.

[Marty Lee]

а никаких идей на счет задачи больше нет? Я просто не представляю какие свойства данных пространств можно проверять. Или может какие-то наброски идей.