Дифференцирование по параметру под знаком интерграла

[hleb13]

Здравствуйте. Необходимо вычислить интеграл

$$f(x, \alpha)=\int\limits_{0}^{\infty}\sin(x)\cdot(e^{-\alpha x}-1)/xdx, \alpha>0$$

Как я поняла, делать это надо с помощью дифференцирования по параметру под знаком интеграла, что возможно, когда $f(x,\alpha)$ и $f'(x, \alpha)$ непрерывны, $f(x,\alpha)$ сходится, а $f'(x, \alpha)$ сходится равномерно. Попыталась сделать таким образом, но преподаватель сказал, что $f'(x,\alpha)$ не сходится равномерно ни при каком $\alpha$, и говорит, что надо как-то по-иному доказывать возможность дифференцирования в этом случае. Не понимаю, как, и прошу вас навести меня на верные мысли.

[Otta]

hleb13 в сообщении #1082357 писал(а):

что $f'(x,\alpha)$ не сходится равномерно ни при каком $\alpha$,

Неужели так и сказал?

-- 15.12.2015, 18:18 --

Вот что. Сформулируйте теорему для начала.

[hleb13]

Otta в сообщении #1082358 писал(а):

Неужели так и сказал?

Именно так. Даже в тетради у меня так написал)

Otta в сообщении #1082358 писал(а):

Вот что. Сформулируйте теорему для начала.

Если $f(x,\alpha)$ непрерывна вместе со своей производной $f'(x,\alpha)$ в области $\left\lbrace a\leqslant x<\infty, \alpha1<\alpha<\alpha2\right\rbrace$ и $f(x,\alpha)$ сходится, а $f'(x, \alpha)$ сходится равномерно в интервале ($\alpha1, \alpha2$), то $\frac{d}{dx}\int\limits_{a}^{\infty}f(x,\alpha)dx = \int\limits_{a}^{\infty}f'(x,\alpha)d\alpha, \alpha1<\alpha<\alpha2$

[Otta]

И теорему так написал? Простите, не верю.
Идите-ка матчасть освежить в памяти.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.