Задача на площадь, доказательство.

[mr.tumkan2015]

На сторонах $AD$ и $DC$ паралелограмма ABCD взяли точки $M$ и $N$ так что $MN\parralel AC$. Доказать, что $S_{ABM}=S_{BNC}$.



Я сразу вижу подобные треугольники $DMN$ и $ADC$. Тогда $AC:MN=AD:MD=CD:DN$.

Но отношения сторон ничего не дают. Общих высот нет, подскажите, плиз, за что зацепиться?

[iifat]

Вторую диагональ проведите.

[mr.tumkan2015]

iifat в сообщении #1080602 писал(а):

Вторую диагональ проведите.

Спасибо, провел, не помогло

[iifat]

Ну, назовите мне десять сколько сможете равновеликих треугольников.

[provincialka]

Прямая $BN$ делит треугольник $BCD$, а прямая $BM$ -- треугольник $ABD$. Каковы эти треугольники? Как их "делят"?

[mr.tumkan2015]

provincialka в сообщении #1080631 писал(а):

Прямая $BN$ делит треугольник $BCD$, а прямая $BM$ -- треугольник $ABD$. Каковы эти треугольники? Как их "делят"?

Спасибо Кажется понял! Они равны (по трем сторонам), площади равны. Делят на треугольники с равным коэффициентом подобия. Значит те самые треугольники из условия равны! Спасибо, понял!

[OlegCh]

А ещё $BD$ - это медиана треугольников $MBN$ и $MDN$...

[Cash]

mr.tumkan2015 в сообщении #1080740 писал(а):

Значит те самые треугольники из условия равны!

Неужели? В $\triangle ABM$ не вижу ни одной стороны, которая даже теоретически могла бы равняться $BC$.

[mr.tumkan2015]

Вот что имелось ввиду, может криво выразился...

$\Delta {ABD}=\Delta {CBD}$

Пусть $\dfrac{AC}{MN}=k$

$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABM}}=\dfrac{kMD}{(k-1)MD}=\dfrac{k}{k-1}$

$\dfrac{S_{CBD}}{S_{BNC}}=\dfrac{kDN}{(k-1)DN}=\dfrac{k}{k-1}$

$\dfrac{S_{CBD}}{S_{BNC}}=\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABM}}$

$S_{BNC}=S_{ABM}$

[TOTAL]

$B \to C, \;\; M \to N \;\; A \to B$
После таких передвижений (которые не меняют площадь $ABM$) оба треугольника совпадут, поэтому имеют одинаковую площадь.

[mr.tumkan2015]

TOTAL в сообщении #1080850 писал(а):

$B \to C, \;\; M \to N \;\; A \to B$
После таких передвижений (которые не меняют площадь $ABM$) оба треугольника совпадут, поэтому имеют одинаковую площадь.

Спасибо! А мое решение -- верно?

[INGELRII]

Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются. Тогда сдвигом превратим параллелограмм в ромб, после чего равенство площадей треугольников станет очевидно.

Или же сдвигом превращаем параллелограмм в такой же, но зеркально симметричный. Тоже очевидно равенство.

[mr.tumkan2015]

INGELRII в сообщении #1080876 писал(а):

Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются. Тогда сдвигом превратим параллелограмм в ромб, после чего равенство площадей треугольников станет очевидно.

Или же сдвигом превращаем параллелограмм в такой же, но зеркально симметричный. Тоже очевидно равенство.

Спасибо! А мое решение -- верно?

[OlegCh]

INGELRII в сообщении #1080876 писал(а):

Легко заметить, что если двигать точку $B$ на резиночке параллельно прямой $AC$ (и соответственно точку $D$, чтобы $ABCD$ оставался параллелограммом), то площади треугольников $BAM, BCN$ при этом не меняются.

Ничего себе, легко заметить! Как это можно заметить, если у треугольника $BAM$, к примеру, меняются все параметры - и высота, и основание! Это всё надо доказывать. Но к чему такие сложности, если всё можно решить гораздо проще - если $BD$ медиана, то она делит пересекающиесяемые ей треугольники ровно пополам по площади.

mr.tumkan2015 в сообщении #1080887 писал(а):

Спасибо! А мое решение -- верно?

Да, ваше тоже верно, разумеется.

[INGELRII]

OlegCh в сообщении #1080896 писал(а):

Ничего себе, легко заметить! Как это можно заметить, если у треугольника $BAM$, к примеру, меняются все параметры

Сей треугольник, как можно видеть из рисунка, состоит из двух треугольников поменьше, на которые его делит диагональ $AC$. И при таком преобразовании длина основания и высота у каждого из треугольничков как раз не меняются. А значит, не меняются их площади. А значит, не меняется площадь $BAM$ как сумма их площадей. Как-то так.

Или еще проще: площади двух фигур равны, если при пересечении их пучком параллельных прямых длины отрезков сечения фигур каждой прямой из пучка соответственно равны. Что выполняется при указанном движении точки $B$.

А, тогда совсем-совсем просто, никуда ничего двигать не надо. Пересекаем всю фигуру пучком прямых, параллельных $AC$, и доказываем равенство отрезков, отсекаемых прямыми у $BAM$ и $BCN$. Что получаем через упомянутую вами медианность диагонали $BD$.