Добрый вечер!
Недавно столкнулся с учебной задачей, -- построение вращательного гамильтониана по вращательному лагранжиану. Вроде бы стандартная процедура, однако наткнулся на препятствие, никак не могу придумать как обойти.
Допустим у нас есть лагранжиан, зависящий от угловой скорости:
.
(большие буквы относятся к подвижной системе координат). Используя кинематические соотношения Эйлера, выражаем компоненты угловой скорости (в ПСК) через углы Эйлера и их производные, получаем
.
Обобщенные импульсы, по определению, -- производные лагранжиана по обобщ. скоростям:
.
Идея заключалась в том, чтобы выразить отсюда
и построить гамильтониан согласно стандартной процедуре:
![$ H(\vec{e}, \vec{p}) = \left[ \dot{\vec{e}} \cdot \vec{p} - \mathcal{L}(\vec{e}, \dot{\vec{e}}) \right]_{ \dot{\vec{e}} = \dot{\vec{e}}(\vec{e}, \vec{p}) }$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/c/51cb7090372662e11106bf5606722b3182.png "$ H(\vec{e}, \vec{p}) = \left[ \dot{\vec{e}} \cdot \vec{p} - \mathcal{L}(\vec{e}, \dot{\vec{e}}) \right]_{ \dot{\vec{e}} = \dot{\vec{e}}(\vec{e}, \vec{p}) }$")
Проблема здесь заключается в следующем: из выражения для обобщенного импульса нам бы хотелось выразить
, однако компоненты угловой скорости содержат
линейно, следовательно,
, то есть вся зависимость от
осталась в неявной форме в
![$ \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Omega_\alpha } \right]_{\alpha=x,y,z}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/1/30128fa63262bdc788557575c57bc46b82.png "$ \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Omega_\alpha } \right]_{\alpha=x,y,z}$")
и сделать с ней ничего нельзя.
. Почему ими должны быть компоненты угловой скорости?
.
-- угловой момент).![$ \mathcal{L} = m \frac{v^2}{2} + m \vec{v} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] + \frac{m}{2} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] - U $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/8/6f8384a2c8e73c8668a7e7aadb86b74482.png "$ \mathcal{L} = m \frac{v^2}{2} + m \vec{v} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] + \frac{m}{2} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] - U $")
.
и 
? Лагранжиан должен содержать квадратичную форму от ![$ \mathcal{L} = \frac{m}{2}v^2 + m \vec{v} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] + \frac{m}{2} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right]^2 - U $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4eb933296da1408094cf922635c7ee82.png "$ \mathcal{L} = \frac{m}{2}v^2 + m \vec{v} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] + \frac{m}{2} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right]^2 - U $")
.![$ \vec{v}_{fixed} = \vec{v} + \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/b/f2b84a931d1a91e047f4d1451197e63d82.png "$ \vec{v}_{fixed} = \vec{v} + \left[ \vec{\Omega} \times \vec{r} \right] $")
.![$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_{i} m_i \vec{v_i} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{R_i} \right]
= \frac{1}{2} \sum_{i} m_i \vec{\Omega} \left[ \vec{R_i} \times \vec{v_i} \right] = \frac{1}{2} \vec{\Omega} \sum_i m_i \left[
\vec{R_i} \times \left[ \vec{\Omega} \times \vec{R_i} \right] \right] = \\
= \frac{1}{2} \vec{\Omega} \sum_{i} m_i \left( \vec{\Omega}
(\vec{R_i} \cdot \vec{R_i}) - \vec{R_i} (\vec{R_i} \cdot \vec{\Omega})) \right) = \frac{1}{2} \vec{\Omega} \cdot \mathbf{I} \cdot \vec{\Omega}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/5/415fc34d7b3103ebab1d7b2d4313a04682.png "$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_{i} m_i \vec{v_i} \left[ \vec{\Omega} \times \vec{R_i} \right]
= \frac{1}{2} \sum_{i} m_i \vec{\Omega} \left[ \vec{R_i} \times \vec{v_i} \right] = \frac{1}{2} \vec{\Omega} \sum_i m_i \left[
\vec{R_i} \times \left[ \vec{\Omega} \times \vec{R_i} \right] \right] = \\
= \frac{1}{2} \vec{\Omega} \sum_{i} m_i \left( \vec{\Omega}
(\vec{R_i} \cdot \vec{R_i}) - \vec{R_i} (\vec{R_i} \cdot \vec{\Omega})) \right) = \frac{1}{2} \vec{\Omega} \cdot \mathbf{I} \cdot \vec{\Omega}
$")
