Разрешимость кубического уравнения

[iou]

Предположим, имеем

$$x^3+x=a$$

Можем ли мы сказать, какие значения должно принимать $a$, чтобы это уравнение можно было решить над $\mathbb{R}$, выразив ответ через элементарные функции?
Очевидно, что при $a=0$ уравнение имеет единственный корень $x=0$, ответ можно выразить, например, так $x=0+a-a$. А можно ли найти другие такие $a$?

[Sonic86]

разрешимо для всех $a$
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%BE

[Pphantom]

Вообще говоря, у любого кубического уравнения с вещественными коэффициентами есть хотя бы один вещественный корень. Кроме этого, в природе существует формула Кардано. Ни на какие мысли не наводит?

[iou]

Pphantom в сообщении #1079789 писал(а):

Кроме этого, в природе существует формула Кардано. Ни на какие мысли не наводит?

Sonic86 в сообщении #1079788 писал(а):

разрешимо для всех $a$
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%BE

Простите, господа, но насколько мне известно формула Кардано используется для нахождения корней над $\mathbb{C}$, я же прошу искать всё в действительных числах.

[Sonic86]

Является ли $i-i$ действительным числом?
Или Вас интересует вопрос, при каких $a$ все корни уравнения действительны? Если да, то это тоже тривиальный вопрос.

[iou]

Sonic86 в сообщении #1079792 писал(а):

Является ли $i-i$ действительным числом?

Я предполагаю, что мы не подозреваем о существовании $i$.

Sonic86 в сообщении #1079792 писал(а):

Или Вас интересует вопрос, при каких $a$ все корни уравнения действительны? Если да, то это тоже тривиальный вопрос.

Нет, в этом уравнении таких $a$ нет, насколько я понимаю.
Тут всегда 1 вещественный корень и 2 комплексно сопряженных. Вопрос вот в чём: обычно кубические уравнения решаются угадыванием одного корня и сведением решения кубического к решению квадратного, а дальше всё уже выражается в радикалах.
Возможно при каких-либо $a$ выразить тут корень, не угадывая его?

[Pphantom]

iou в сообщении #1079791 писал(а):

Простите, господа, но насколько мне известно формула Кардано используется для нахождения корней над $\mathbb{C}$, я же прошу искать всё в действительных числах.

iou в сообщении #1079798 писал(а):

Я предполагаю, что мы не подозреваем о существовании $i$.

Конкретно в данном случае вещественный корень будет только один, причем выражение для него (являющееся частным случаем формулы Кардано) никоим образом не требует знаний о комплексных числах - извлекать квадратные корни из отрицательных чисел не придется.

iou в сообщении #1079798 писал(а):

Возможно при каких-либо $a$ выразить тут корень, не угадывая его?

Да.

[iou]

Pphantom в сообщении #1079800 писал(а):

iou в сообщении #1079791 писал(а):

Простите, господа, но насколько мне известно формула Кардано используется для нахождения корней над $\mathbb{C}$, я же прошу искать всё в действительных числах.

iou в сообщении #1079798 писал(а):

Я предполагаю, что мы не подозреваем о существовании $i$.

Конкретно в данном случае вещественный корень будет только один, причем выражение для него (являющееся частным случаем формулы Кардано) никоим образом не требует знаний о комплексных числах - извлекать квадратные корни из отрицательных чисел не придется.

iou в сообщении #1079798 писал(а):

Возможно при каких-либо $a$ выразить тут корень, не угадывая его?

Да.

Я правильно понял, что мы можешь подставить всё в формулу и для любого $a$ выразить вещественный корень в радикалах?

[Pphantom]

iou в сообщении #1079802 писал(а):

Я правильно понял, что мы можешь подставить всё в формулу и для любого $a$ выразить вещественный корень в радикалах?

Совершенно верно.

[Sonic86]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 1%82%D0%B0

iou в сообщении #1079802 писал(а):

Я правильно понял, что мы можешь подставить всё в формулу и для любого $a$ выразить вещественный корень в радикалах?

iou в сообщении #1079786 писал(а):

чтобы это уравнение можно было решить над $\mathbb{R}$, выразив ответ через элементарные функции?

Вы бы определились с формулировкой задачи сначала.

Хотя я, если честно, вообще не понимаю вопрос.

upd: А, понял: Если корень один, то $D>0$ и тогда корни $\sqrt{D}$ действительны.

[мат-ламер]

iou
Но вы уже поняли из ответов, что поскольку левая часть уравнения возрастает, то у уравнения всегда ровно один корень. В таких случаях (одного корня) формула Кардано его найдёт без обращения к комплексным числам. (Извиняюсь за повтор. Когда отвечал последней строки в предыдущем посте не было).

[Someone]

(iou)

iou в сообщении #1079802 писал(а):

Я правильно понял, что мы можешь подставить всё в формулу и для любого $a$ выразить вещественный корень в радикалах?

Вам же сразу сказали: формула Кардано. Что бы было взять и попробовать? И никаких вопросов не потребовалось бы.